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考點04 球的結(jié)構(gòu)特征 1．球面可看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，球面圍成的幾何體，叫做球，形成球的半圓的圓心叫做球心；連接球面上一點和球心的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點且通過球心的線段叫做球的直徑． 2．球可以用表示它的球心的字母來表示． 3．球面也可以看作空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合． 4．球的截面圓的圓心為O′，球心為O，|OO′|＝d，球截面圓的半徑為r，球半徑為R，則d＝． 【例】已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且相距為1，那這個球的半徑是( ) A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】B 【易錯易混】題目中以明確兩個平面在球心同側(cè)，若隱去此條件，要考慮在球心的同側(cè)，異側(cè)兩種情況． 1．下列命題正確的有（ ） ①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線；②球的直徑是過球心的直線；③用一個平面截一個球，得到的是一個圓；④用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面． A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【答案】C 【概念辨析】（1）球可看作是空間中與一個定點的距離小于或等于定長的點的集合，這個定點就是球心，定長就是球的半徑；（2）球體與球面是不同的，球體是幾何體，球面是曲面，但兩者也有聯(lián)系，球面是球體的表面． 2．半圓繞一條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是( ) A．球 B．球面 C．球或球面 D．不確定 【答案】D 【解析】因為旋轉(zhuǎn)軸不明確，故所得幾何體不確定． 3．給出下列命題，其中正確命題的個數(shù)為( ) ①直線繞定直線旋轉(zhuǎn)形成柱面； ②曲線平移一定形成曲面； ③直角梯形旋繞一邊轉(zhuǎn)形成圓臺； ④半圓繞定直線旋轉(zhuǎn)形成球． A．1個 B．2個 C．3個 D．0個 【答案】D 【解析】①可能是錐面，對于②若曲線在平面內(nèi)平移就形成了平面．③④不符合定義，旋轉(zhuǎn)軸不確定． 【方法點撥】 簡單幾何體分為多面體和旋轉(zhuǎn)體兩類，若題目中指明“該幾何體由n(n≥4)個面圍成”，則該幾何體應(yīng)從棱柱、棱錐、棱臺中考慮；若題目中指明“該幾何體由某平面圖形繞定直線旋轉(zhuǎn)n(半周或一周等)形成”，則應(yīng)從圓柱、圓錐、圓臺、球中考慮． 4．下列說法正確的是( ) A．到定點的距離等于定長的點的集合是球 B．球面上不同的三點可能在同一條直線上 C．用一個平面截球，其截面是一個圓 D．球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面 【答案】D 5．有下列說法： ①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線； ②球的直徑是球面上任意兩點間的連線； ③半圓繞定直線旋轉(zhuǎn)后形成球． 其中正確說法的序號是________． 【答案】① 【解析】利用球的結(jié)構(gòu)特征判斷：①正確；②不正確，因為直徑必須過球心；③不正確，因為形成的是一個球面． 1．過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的截面，則截面的面積與球的一個大圓面積之比為( ) A．1:4 B．1:2 C．3:4 D．2:3 【答案】C 【解析】如圖，設(shè)該球的半徑為R，則O1A2＝OA2－OO＝R2－R2＝R2．所以截面的面積與球的一個大圓面積之比為． 2．救生圈是旋轉(zhuǎn)體，它可以看成圓繞其軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，該軸的位置是( ) A．該圓的一條直徑 B．該圓所在平面外的一條直線 C．該圓所在平面內(nèi)的一條直線 D．以上都不對 【答案】D 【解析】應(yīng)該是該圓所在平面內(nèi)，并且在該圓外的一條直線． 3．如圖，平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體形狀為( ) A．一個球體 B．一個球體中間挖去一個圓柱 C．一個圓柱 D．一個球體中間挖去一個長方體 【答案】B 4．用一平面截半徑為25的球，若截面圓的面積為225π，求球心到截面的距離． 【答案】20 【解析】設(shè)球心為O，截面圓的圓心為O′，球的半徑為r、截面圓的半徑為r′， 則OO′＝． ∵πr′2＝225π，∴r′2＝225． 又r2＝252＝625，∴OO′＝＝20． ∴球心到截面的距離為20． 雕塑 雕塑可看做是由棱錐、球組成的組合體