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10 不等式、推理與證明 考綱原文 （十三）不等式 1．不等關(guān)系 了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景. 2．一元二次不等式 （1）會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型. （2）通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系. （3）會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖. 3．二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 （1）會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組. （2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組. （3）會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決. 4．基本不等式： （1）了解基本不等式的證明過程. （2）會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}. （十八）推理與證明 1．合情推理與演繹推理 （1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. （2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理. （3）了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異. 2．直接證明與間接證明 （1）了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn). （2）了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn). 3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題. 這部分內(nèi)容與2018考綱相比沒有什么變化，主要以客觀題的形式出現(xiàn)，命題方向如下: 不等式的命題方向?yàn)椋海?）選擇題、填空題中以簡單的線性規(guī)劃、不等式的性質(zhì)為主，有時也與其他知識相交匯，試題難度中等；（2）解答題中通常以其他知識為主，結(jié)合不等式的相關(guān)知識或有關(guān)不等式問題的證明等，試題難度中等偏上. 推理與證明的命題方向?yàn)椋海?）選擇題或填空題中常將有關(guān)歸納方法的應(yīng)用與其他知識相交匯，有時以數(shù)學(xué)文化為背景，試題難度中等；（2）解答題中通常以其他知識為主，通過推理與證明來解決相關(guān)問題，注意反證法的應(yīng)用，試題難度中等或中等偏上. 考向一 解不等式 樣題1 （2018新課標(biāo)全國Ⅲ理科）設(shè)，，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，，， ,即，又，，即，故選B. 考向二 一元二次不等式的解法 樣題2 （2018新課標(biāo)全國Ⅰ理科）已知集合，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故選B． 樣題3 若不等式的解集為,則不等式的解集為 A．或 B． C． D．或 【答案】B 考向三 目標(biāo)函數(shù)的最值問題 樣題4 （2018新課標(biāo)I理科）若，滿足約束條件，則的最大值為_____________． 【答案】6 【解析】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示： 由可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線過點(diǎn)B時，z取得最大值， 由，解得，此時，故答案為6. 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型，根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解. 樣題5 已知滿足，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)表示點(diǎn) 與可行域內(nèi)點(diǎn)的距離的平方，點(diǎn)P到直線的距離：，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離加上半徑：， 則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是.故選A． 考向四 利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題 樣題6 某顏料公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，其中生產(chǎn)每噸產(chǎn)品，需要甲染料1噸，乙染料4噸，丙染料2噸，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品，需要甲染料1噸，乙染料0噸，丙染料5噸，且該公司一天之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50噸、160噸和200噸，如果產(chǎn)品的利潤為300元/噸，產(chǎn)品的利潤為200元/噸，則該顏料公司一天之內(nèi)可獲得的最大利潤為 A．14000元 B．16000元 C．16000元 D． 20000元 【答案】A 【解析】依題意，將題中數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示： 設(shè)該公司一天內(nèi)安排生產(chǎn)產(chǎn)品噸、產(chǎn)品噸，所獲利潤為元，依據(jù)題意得目標(biāo)函數(shù)為，約束條件為,欲求目標(biāo)函數(shù)的最大值，先畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示，則點(diǎn)，，，，作直線，當(dāng)移動該直線過點(diǎn)時，取得最大值，則也取得最大值（也可通過代入凸多邊形端點(diǎn)進(jìn)行計算，比較大小求得）. 故. 所以工廠每天生產(chǎn)產(chǎn)品40噸，產(chǎn)品10噸時，才可獲得最大利潤，為14000元.選A． 考向五 推理 樣題7 （2017新課標(biāo)全國Ⅱ理科）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則 A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 【答案】D 考向六 數(shù)學(xué)歸納法 樣題8 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an=0有一根為Sn－1(n∈N*)． （1）求a1，a2； （2）猜想數(shù)列{Sn}的通項公式，并給出證明． 【解析】（1）當(dāng)n=1時，方程x2－a1x－a1=0有一根為S1－1=a1－1， ∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1=0，解得a1=. 當(dāng)n=2時，方程x2－a2x－a2=0有一根為S2－1=a1+a2－1=a2－， ∴2－a2－a2=0，解得a2=. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論． ①當(dāng)n=1時，結(jié)論成立． ②假設(shè)n=k(k∈N*，k≥1)時結(jié)論成立，即Sk=， 當(dāng)n=k+1時，Sk+1====. 即當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立． 由①②知Sn=對任意的正整數(shù)n都成立．