2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題05 函數(shù)的對稱性、周期性及其應用.doc
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專題05 函數(shù)的對稱性、周期性及其應用 【熱點聚焦與擴展】 高考對函數(shù)性質的考查往往是綜合性的，如將奇偶性、周期性、單調性及函數(shù)的零點綜合考查，因此，復習過程中應注意在掌握常見函數(shù)圖象和性質的基礎上，注重函數(shù)性質的綜合應用的演練. （一）函數(shù)的對稱性 1、對定義域的要求：無論是軸對稱還是中心對稱，均要求函數(shù)的定義域要關于對稱軸（或對稱中心）對稱 2、軸對稱的等價描述： （1）關于軸對稱（當時，恰好就是偶函數(shù)） （2）關于軸對稱 在已知對稱軸的情況下，構造形如的等式只需注意兩點，一是等式兩側前面的符號相同，且括號內(nèi)前面的符號相反；二是的取值保證為所給對稱軸即可。例如：關于軸對稱，或得到均可，只是在求函數(shù)值方面，一側是更為方便 （3）是偶函數(shù)，則，進而可得到：關于軸對稱. ① 要注意偶函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相等，所以在中，僅是括號中的一部分，偶函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時，函數(shù)值相等，即，要與以下的命題區(qū)分： 若是偶函數(shù)，則：是偶函數(shù)中的占據(jù)整個括號，所以是指括號內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相等，所以有 ② 本結論也可通過圖像變換來理解，是偶函數(shù)，則關于軸對稱，而可視為平移了個單位（方向由的符號決定），所以關于對稱. 2、中心對稱的等價描述： （1）關于中心對稱（當時，恰好就是奇函數(shù)） （2）關于中心對稱 在已知對稱中心的情況下，構造形如的等式同樣需注意兩點，一是等式兩側和前面的符號均相反；二是的取值保證為所給對稱中心即可。例如：關于中心對稱，或得到均可，同樣在求函數(shù)值方面，一側是更為方便 （3）是奇函數(shù)，則，進而可得到：關于中心對稱。 ① 要注意奇函數(shù)是指自變量取相反數(shù)，函數(shù)值相反，所以在中，僅是括號中的一部分，奇函數(shù)只是指其中的取相反數(shù)時，函數(shù)值相反，即，要與以下的命題區(qū)分： 若是奇函數(shù)，則：是奇函數(shù)中的占據(jù)整個括號，所以是指括號內(nèi)取相反數(shù)，則函數(shù)值相反，所以有 ② 本結論也可通過圖像變換來理解，是奇函數(shù)，則關于中心對稱，而可視為平移了個單位（方向由的符號決定），所以關于對稱。 4、對稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側的性質，便可得到整個函數(shù)的性質，主要體現(xiàn)在以下幾點： （1）可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值 （2）在作圖時可作出一側圖像，再利用對稱性得到另一半圖像 （3）極值點關于對稱軸（對稱中心）對稱 （4）在軸對稱函數(shù)中，關于對稱軸對稱的兩個單調區(qū)間單調性相反；在中心對稱函數(shù)中，關于對稱中心對稱的兩個單調區(qū)間單調性相同 （二）函數(shù)的周期性 1、定義：設的定義域為，若對，存在一個非零常數(shù)，有，則稱函數(shù)是一個周期函數(shù)，稱為的一個周期 2、周期性的理解：可理解為間隔為的自變量函數(shù)值相等 3、若是一個周期函數(shù)，則，那么，即也是的一個周期，進而可得：也是的一個周期 4、最小正周期：正由第3條所說，也是的一個周期，所以在某些周期函數(shù)中，往往尋找周期中最小的正數(shù)，即稱為最小正周期。然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，比如常值函數(shù) 5、函數(shù)周期性的判定： （1）：可得為周期函數(shù)，其周期 （2）的周期 分析：直接從等式入手無法得周期性，考慮等間距再構造一個等式： 所以有：，即周期 注：遇到此類問題，如果一個等式難以推斷周期，那么可考慮等間距再列一個等式，進而通過兩個等式看能否得出周期 （3）的周期 分析： （4）（為常數(shù)）的周期 分析：，兩式相減可得： （5）（為常數(shù)）的周期 （6）雙對稱出周期：若一個函數(shù)存在兩個對稱關系，則是一個周期函數(shù)，具體情況如下：（假設） ① 若的圖像關于軸對稱，則是周期函數(shù)，周期 分析：關于軸對稱 關于軸對稱 的周期為 ② 若的圖像關于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期 ③ 若的圖像關于軸對稱，且關于中心對稱，則是周期函數(shù)，周期 7、函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個周期的性質，則得到整個函數(shù)的性質。 （1）函數(shù)值：可利用周期性將自變量大小進行調整，進而利用已知條件求值 （2）圖像：只要做出一個周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進行“復制+粘貼” （3）單調區(qū)間：由于間隔的函數(shù)圖象相同，所以若在上單調增（減），則在上單調增（減） （4）對稱性：如果一個周期為的函數(shù)存在一條對稱軸 （或對稱中心），則 存在無數(shù)條對稱軸，其通式為 證明：關于軸對稱 函數(shù)的周期為 關于軸對稱 注：其中（3）（4）在三角函數(shù)中應用廣泛，可作為檢驗答案的方法. 【經(jīng)典例題】 例1【2017山東，文14】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).若當 時,,則f(919)= . 【答案】 【解析】 【名師點睛】與函數(shù)奇偶性有關問題的解決方法 ①已知函數(shù)的奇偶性,求函數(shù)值 將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解． ②已知函數(shù)的奇偶性求解析式 將待求區(qū)間上的自變量,轉化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式． ③已知函數(shù)的奇偶性,求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 常常利用待定系數(shù)法：利用f(x)f(－x)＝0得到關于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程求解． ④應用奇偶性畫圖象和判斷單調性 利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調性． 例2.對于函數(shù)，部分與的對應關系如表： 數(shù)列滿足： ，且對于任意，點都在函數(shù)的圖象上， 則的值為__________. 【答案】7564 【名師點睛】周期數(shù)列是周期現(xiàn)象的應用，周期數(shù)列問題在高考中常出現(xiàn)．這類試題綜合性強一般會融匯數(shù)列，數(shù)論，函數(shù)等知識解題，方法靈活多變，具有較高的技巧性．學生應進行相關的培訓，才能在應付這些試題時有比較好的把握． 例3.【2018屆山西省康杰中學高三上學期第一次月考】定義在R上的函數(shù)滿足,且時, ,則= A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，則時， ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴ 故選C. 例4.定義在上的函數(shù)對任意，都有，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由及所求可聯(lián)想到周期性，所以考慮，所以是周期為4的周期函數(shù)，故，而由已知可得，所以. 例5【高考題】定義在上的函數(shù)滿足，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C ，而 . 【名師點睛】（1）本題的思路依然是將無解析式的自變量通過函數(shù)性質向含解析式的自變量靠攏，而數(shù)較大，所以考慮判斷函數(shù)周期性。 （2）如何快速將較大自變量縮至已知范圍中？可利用帶余除法除以周期，觀察余數(shù)。則被除數(shù)的函數(shù)值與余數(shù)的函數(shù)值相同，而商即為被除數(shù)利用周期縮了多少次達到余數(shù)。例如本題中，從而 （3）本題推導過程中也有其用處，其含義是間隔為3的自變量函數(shù)值互為相反數(shù)，相比周期，它的間隔更小，所以適用于利用周期縮小自變量范圍后，進行“微調”從而將自變量放置已知區(qū)間內(nèi). 例6.已知是定義在上的函數(shù)，滿足，當時，，則函數(shù)的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 例7.已知定義域為的函數(shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，如果，且，則的值（ ） A. 可正可負 B. 恒大于0 C. 可能為0 D. 恒小于0 【答案】D 【解析】思路一：題目中給了單調區(qū)間，與自變量不等關系，所求為函數(shù)值的關系，從而想到單調性，而可得，因為，所以，進而將裝入了中，所以由可得，下一步需要轉化，由可得關于中心對稱，所以有.代入 可得，從而 思路二：本題運用數(shù)形結合更便于求解.先從分析出關于中心對稱，令代入到可得。中心對稱的函數(shù)對稱區(qū)間單調性相同，從而可作出草圖.而，即的中點位于的左側，所以比距離更遠，結合圖象便可分析出恒小于0. 【名師點睛】（1）本題是單調性與對稱性的一個結合，入手點在于發(fā)現(xiàn)條件的自變量關系，與所求函數(shù)值關系，而連接它們大小關系的“橋梁”是函數(shù)的單調性，所以需要將自變量裝入同一單調區(qū)間內(nèi)。而對稱性起到一個將函數(shù)值等價轉化的作用，進而與所求產(chǎn)生聯(lián)系. （2）數(shù)形結合的關鍵點有三個：第一個是中心對稱圖像的特點，不僅僅是單調性相同，而且是呈“對稱”的關系，從而在圖像上才能看出的符號；第二個是，進而可知；第三個是，既然是數(shù)形結合，則題中條件也要盡可能轉為圖像特點，而表現(xiàn)出中點的位置，從而能夠判斷出距離中心對稱點的遠近. 例8.已知定義域為的函數(shù)在上有和兩個零點，且與 都是偶函數(shù)，則在上的零點個數(shù)至少有（ ）個 A. B. C. D. 【答案】C 解：為偶函數(shù) 關于軸對稱 為周期函數(shù)，且 將劃分為 關于軸對稱 在中只含有四個零點 而共組 所以 在中，含有零點共兩個 所以一共有806個零點. 【名師點睛】（1）周期函數(shù)處理零點個數(shù)時，可以考慮先統(tǒng)計一個周期的零點個數(shù)，再看所求區(qū)間包含幾個周期，相乘即可.如果有不滿一個周期的區(qū)間可單獨統(tǒng)計. （2）在為周期函數(shù)分段時有一個細節(jié)：“一開一閉”，分段的要求時“不重不漏”，所以在給周期函數(shù)分段時，一端為閉區(qū)間，另一端為開區(qū)間，不僅達到分段要求，而且每段之間保持隊型，結構整齊，便于分析. （3）當一個周期內(nèi)含有對稱軸（或對稱中心）時，零點的統(tǒng)計不能僅限于已知條件，而要看是否由于對稱產(chǎn)生新的零點。其方法一是可以通過特殊值的代入，二是可以通過圖像，將零點和對稱軸標在數(shù)軸上，看是否有由對稱生成的零點（這個方法更直觀，不易丟解）. 例9【2018屆安徽省六安市第一中學高三上學期第五次月考】設函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當時， ，若在區(qū)間內(nèi)關于的方程有且只有4個不同的根，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴函數(shù)圖象的對稱軸為，即， ∵在區(qū)間內(nèi)方程有且只有4個不同的根， ∴函數(shù)和的圖象在區(qū)間內(nèi)僅有4個不同的公共點． 結合圖象可得只需滿足 ，解得． ∴實數(shù)的取值范圍是． 【名師點睛】已知函數(shù)零點個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法 （1）直接法：通過解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)的值（或范圍）； （2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域的問題，并結合題意加以解決； （3）數(shù)形結合法：先對函數(shù)解析式變形，化為兩個函數(shù)的形式，然后在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，然后根據(jù)兩個圖象的位置關系得到關于參數(shù)的不等式（組）， 求得解集后可得范圍，解題時要注意一些特殊點的相對位置． 例10【2018屆吉林省梅河口市第五中學高三4月月考】如果的定義域為，對于定義域內(nèi)的任意，存在實數(shù)使得成立，則稱此函數(shù)具有“性質”.給出下列命題： ①函數(shù)具有“性質”； ②若奇函數(shù)具有“性質”，且，則； ③若函數(shù)具有“性質”，圖象關于點成中心對稱，且在上單調遞減，則在上單調遞減，在上單調遞增； ④若不恒為零的函數(shù)同時具有“性質”和“性質”，且函數(shù)對，都有 成立，則函數(shù)是周期函數(shù). 其中正確的是__________（寫出所有正確命題的編號）． 【答案】①③④ 【解析】 ∴函數(shù)具有“性質”；故①正確； ②∵奇函數(shù)具有“性質”，且， 是周期為4的函數(shù)， 故②不正確； ∵圖象關于點成中心對稱，且在上單調遞減， ∴圖象也關于點成中心對稱，且在上上單調遞減， 根據(jù)偶函數(shù)的對稱得出：在上單調遞增；故③正確； ④∵若不恒為零的函數(shù)同時具有“性質”和“性質” ，為偶函數(shù)，且周期為3，故④正確． 故答案為：①③④． 【精選精練】 1．【2018屆河北省石家莊高三教學質量檢測（二）】已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則( ) A. B. 18 C. D. 2 【答案】C 2．【2018屆江西省南昌市高三第一輪訓練】已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,說明函數(shù) 的周期為6， ，則，由函數(shù)為 定義在上的奇函數(shù)，則又，則，則，選B. 3．【2018屆廣東省茂名市高三上學期第一次綜合測試】定義在R上函數(shù)的圖象關于直線x=?2對稱，且函數(shù)是偶函數(shù). 若當x∈[0,1]時，，則函數(shù)在區(qū)間[?2018,2018]上零點的個數(shù)為( ) A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 4036 【答案】D ∴， 故， ∴函數(shù)是周期為2的偶函數(shù)． 又當x∈[0,1]時， ，畫出與圖象如下圖所示， 由圖象可知在每個周期內(nèi)兩函數(shù)的圖象有兩個交點， 所以函數(shù)在區(qū)間[?2018,2018]上零點的個數(shù)為20182=4036．選D． 【名師點睛】函數(shù)零點的應用是高考考查的熱點，主要考查利用零點的個數(shù)或存在情況求參數(shù)的取值范圍，難度較大．解題時常用的方法有以下幾種： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域的問題加以解決； (3)數(shù)形結合法：先對解析式變形得到兩個函數(shù)，并在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結合求解． 4．【2018屆河北省武邑中學高三上學期第五次調研】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當時， ，若有三個零點，則實數(shù)的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時， ，故當時， ，所以函數(shù)的部分圖象如圖所示， 有三個零點，即函數(shù)和函數(shù)的圖象有三個交點，當直線與函數(shù)的圖象在上相切時，即有2 周期為4，所以實數(shù)的取值集合是.故選C. 【名師點睛】本題考查函數(shù)的零點、函數(shù)的對稱軸和周期性；本題的易錯點是利用函數(shù)為偶函數(shù)正確得到函數(shù)的對稱性，要注意判定奇偶性的自變量是，由為偶函數(shù)得到，而不是. 5．【2018屆貴州省遵義市高三上學期第二次聯(lián)考】設是定義在上的偶函數(shù)， ，都有，且當時， ，若函數(shù)（）在區(qū)間內(nèi)恰有三個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由可得函數(shù)的圖象關于對稱，即 ∵函數(shù)（）在區(qū)間內(nèi)恰有三個不同零點， ∴函數(shù)和的圖象在區(qū)間內(nèi)有三個不同的公共點． 作出函數(shù)的圖象如圖所示． ①當時，函數(shù)為增函數(shù)， 結合圖象可得，要使兩函數(shù)的圖象有三個公共點，則需滿足在點A處的函數(shù)值小于2，在點B處的函數(shù)值大于2， 即，解得； ②當時，函數(shù)為減函數(shù)， 【名師點睛】對于已知函數(shù)零點個數(shù)（或方程根的個數(shù)）求參數(shù)的取值或范圍時，一般轉化為兩函數(shù)的圖象的公共點的個數(shù)的問題，利用數(shù)形結合的方法求解． （1）若分離參數(shù)后得到（為參數(shù)）的形式，則作出函數(shù)的圖象后，根據(jù)直線和函數(shù)的圖象的相對位置得到參數(shù)的取值范圍． （2）若不能分離參數(shù)，則可由條件化為的形式，在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，根據(jù)兩圖象的相對位置關系得到參數(shù)的取值范圍． 6．【2018屆四川省成都市第七中學高三上學期一診】定義在上的奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，且當時， 則（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】是定義在上的奇函數(shù)， ， 函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)， ， ，可得，則的周期是， ，故選C. 7．【2018屆山東省曲阜市高三上學期期中】已知函數(shù)的定義域為的奇函數(shù)，當時， ，且， ，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8．【2018屆山東省棗莊市第三中學高三一調模擬】已知定義在上的函數(shù)滿足條件：①對任意的，都有；②對任意的且，都有；③函數(shù)的圖象關于軸對稱，則下列結論正確的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵對任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x)； ∴函數(shù)是4為周期的周期函數(shù)， ∵函數(shù)f(x+2)的關于y軸對稱 ∴函數(shù)函數(shù)f(x)的關于x=2對稱， ∵對任意的,且,都有. ∴此時函數(shù)在[0,2]上為增函數(shù)， 則函數(shù)在[2,4]上為減函數(shù)， 則f(7)=f(3)， f(6.5)=f(2,5)， f(4.5)=f(0.5)=f(3.5)， 則f(3.5)
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