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專題六 角恒等變換與解三角形
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
正、余弦定理的應用T17
二倍角公式及余弦定理的應用T6
二倍角公式T4
同角三角函數關系及兩角和的正弦公式T15
三角形的面積公式及余弦定理T9
2017
正、余弦定理、三角形的面積公式及兩角和的余弦公式T17
余弦定理、三角恒等變換及三角形的面積公式T17
余弦定理、三角形的面積公式T17
2016
正、余弦定理、三角形面積公式、兩角和的正弦公式T17
誘導公式、三角恒等變換、給值求值問題T9
同角三角函數的基本關系、二倍角公式T5
正弦定理的應用、誘導公式T13
利用正、余弦定理解三角形T8
縱向把握趨勢
卷Ⅰ3年3考且均出現在解答題中的第17題，涉及正、余弦定理、三角形的面積公式、兩角和與差的正、余弦公式，難度適中．預計2019年會以選擇題或填空題的形式考查正、余弦定理的應用及三角恒等變換，難度適中
卷Ⅱ3年5考，既有選擇題、填空題，也有解答題，涉及誘導公式、同角三角函數基本關系式、三角恒等變換、正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式，難度適中．預計2019年會以解答題的形式考查正、余弦定理和三角形面積公式的應用
卷Ⅲ3年5考，既有選擇題，也有解答題，難度適中．涉及同角三角函數基本關系式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理、三角形面積公式等．預計2019年會以解答題的形式考查正、余弦定理在解三角形中的應用
橫向把握重點
1.高考對此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現．
2.若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現在第4～9或第13～15題位置上．
3.若以解答題命題形式出現，主要考查三角函數與解三角形的綜合問題，一般出現在解答題第17題位置上，難度中等.
三角恒等變換
[題組全練]
1．(2018全國卷Ⅲ)若sin α＝，則cos 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選B ∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝.故選 B.
2．(2016全國卷Ⅱ)若cos＝，則sin 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選D 因為cos＝，
所以sin 2α＝cos＝2cos2－1＝－.
3．已知sin－cos α＝，則cos＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：選D 由sin－cos α＝，得sin α＋cos α－cos α＝sin α－cos α＝sin＝，所以cos＝1－2sin2＝1－＝.
4．已知sin β＝，且sin(α＋β)＝cos α，則tan(α＋β)＝( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：選A ∵sin β＝，且<β<π，
∴cos β＝－，tan β＝－.
∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－sin α＋cos α＝cos α，
∴tan α＝－，∴tan(α＋β)＝＝－2.
5．已知A，B均為鈍角，sin2＋cos＝，且sin B＝，則A＋B＝( )
A. B.
C. D.
解析：選C 因為sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，解得sin A＝.
因為A為鈍角，
所以cos A＝－＝－＝－.
由sin B＝，且B為鈍角，
可得cos B＝－＝－
＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝－
＝.
又A，B都為鈍角，即A，B∈，
所以A＋B∈(π，2π)，
故A＋B＝，選C.
[系統(tǒng)方法]
1．化簡求值的方法與思路
(1)方法：①采用“切化弦”“弦化切”來減少函數的種類，做到三角函數名稱的統(tǒng)一；
②通過三角恒等變換，化繁為簡，便于化簡求值；
(2)基本思路：找差異，化同名(同角)，化簡求值．
2．解決條件求值問題的三個關注點
(1)分析已知角和未知角之間的關系，正確地用已知角來表示未知角；
(2)正確地運用有關公式將所求角的三角函數值用已知角的三角函數值來表示；
(3)求解三角函數中給值求角的問題時，要根據已知求這個角的某種三角函數值，然后結合角的取值范圍，求出角的大小．
正弦定理、余弦定理的應用
[多維例析]
角度一 利用正、余弦定理進行邊、角計算
(1)(2018全國卷Ⅲ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝( )
A. B.
C. D.
(2)(2018長春質檢)已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c,2asin B＝b，b＝2，c＝3，AD是角A的平分線，D在BC上，則BD＝________.
[解析] (1)∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，
即tan C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由正弦定理可得，2sin Asin B＝sin B，
可得sin A＝，因為0
1)m，AC＝t(t>0)m，
依題意得AB＝AC－0.5＝(t－0.5)(m)．
在△ABC中，由余弦定理得，
AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 60，
即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，
化簡并整理得t＝＝x－1＋＋2(x>1)．
因為x>1，所以t＝x－1＋＋2≥2＋當且僅當x＝1＋時取等號，故AC最短為(2＋)m，應選D.
[答案] (1)C (2)D
[類題通法]
1．解三角形實際應用問題的解題步驟
2．解三角形實際應用問題的注意事項
(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名詞，并能準確作出這些角；
(2)要注意將平面幾何的性質、定理與正、余弦定理結合起來使用，這樣可以優(yōu)化解題過程；
(3)要注意題目中的隱含條件及解的實際意義．
[應用通關]
1．某位居民站在離地面20 m高的陽臺上觀測到對面小高層房頂的仰角為60，小高層底部的俯角為45，那么這棟小高層的高度為( )
A．20m B．20(1＋)m
C．10(＋)m D．20(＋)m
解析：選B 如圖，設AB為陽臺的高度，CD為小高層的高度，AE為水平線．由題意知AB＝20 m，∠DAE＝45，∠CAE＝60，故DE＝AE＝20 m，CE＝20 m，所以CD＝20(1＋)m.
2.(2018河北保定模擬)如圖，某游輪在A處看燈塔B在A的北偏東75方向上，距離為12海里，燈塔C在A的北偏西30方向上，距離為8海里，游輪由A處向正北方向航行到D處時再看燈塔B，B在南偏東60方向上，則C與D的距離為( )
A．20海里 B．8海里
C．23海里 D．24海里
解析：選B 在△ABD中，因為燈塔B在A的北偏東75方向上，距離為12海里，貨輪由A處向正北方向航行到D處時，再看燈塔B，B在南偏東60方向上，所以B＝180－75－60＝45，由正弦定理＝，
可得AD＝＝＝24海里．
在△ACD中，AD＝24海里，AC＝8海里，∠CAD＝30，
由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2ADACcos 30＝242＋(8)2－2248＝192.
所以CD＝8海里．
3．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經測量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于________．
解析：依題意，設乙的速度為x m/s，
則甲的速度為x m/s，
因為AB＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，
解得AC＝1 260 m.
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠BAC＝
＝＝，
所以sin∠BAC＝
＝ ＝.
答案：
重難增分
與平面幾何有關的解三角形綜合問題
[考法全析]
一、曾經這樣考
1．(2015全國卷Ⅰ)[與平面四邊形有關的邊長范圍問題]在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75，BC＝2，則AB的取值范圍是________．
[學解題]
法一：分割法(學生用書不提供解題過程)
易知∠ADC＝135.如圖，連接BD，設∠BDC＝α，∠ADB＝β，則α＋β＝135.
在△ABD和△BCD中，由正弦定理得＝＝，
則AB＝＝
＝＝，
由得30<α<105，
所以－2<<.
則－0)，則BD＝2x.
在△BCD中，因為CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，
所以cos∠CDB＝＝.
在△ACD中，AD＝x，CD＝5，AC＝5，
由余弦定理得
cos∠ADC＝＝.
因為∠CDB＋∠ADC＝π，
所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，
即＝－，
解得x＝5，所以AD的長為5.
答案：5
2.如圖，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90，C是BD上一點，AB＝3－，∠ACB＝15，∠ECD＝60，∠EAC＝45，則線段DE的長為______．
解析：易知∠ACE＝105，∠AEC＝30，
在Rt△ABC中，AC＝，
在△AEC中，＝?CE＝，
在Rt△CED中，
DE＝CEsin 60＝
＝＝6.
答案：6
3.(2018四川成都模擬)如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝，若△ADC是銳角三角形，則DA＋DC的取值范圍為________．
解析：設∠ACD＝θ，則∠CAD＝－θ，根據條件及余弦定理計算得AC＝2.
在△ACD中，由正弦定理得
＝＝＝4，
∴AD＝4sin θ，CD＝4sin，
∴DA＋DC＝4
＝4＝4
＝4＝4sin.
∵△ACD是銳角三角形，
∴θ和－θ均為銳角，∴θ∈，
∴θ＋∈，
∴sin∈.
∴DA＋DC＝4sin∈.
答案：(6,4 ]
[高考大題通法點撥]
三角函數問題重在“變”——變角、變式
[思維流程]
[策略指導]
1．常用的變角技巧
(1)已知角與特殊角的變換；
(2)已知角與目標角的變換；
(3)角與其倍角的變換；
(4)兩角與其和差角的變換以及三角形內角和定理的變換運用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2，＝－.
2．常用的變式技巧
主要從函數名、次數、系數方面入手，常見的有：
(1)討論三角函數的性質時，常常將它化為一次的單角的三角函數來討論；
(2)涉及sin xcos x、sin xcos x的問題，常做換元處理，如令t＝sin xcos x∈[－，]，將原問題轉化為關于t的函數來處理；
(3)在解決三角形的問題時，常利用正、余弦定理化邊為角或化角為邊等．
已知函數f (x)＝4tan xsincos－.
(1)求f (x)的定義域與最小正周期；
(2)討論f (x)在區(qū)間上的單調性．
[破題思路]
第(1)問
求什么想什么
求f (x)的定義域與最小正周期，想到建立關于x的不等式以及化函數f (x)的解析式為f (x)＝Asin(ωx＋φ)或f (x)＝Acos(ωx＋φ)的形式
給什么用什么
題干中給出的解析式中既有正切函數也有正弦、余弦函數，利用同角三角函數關系式、誘導公式、兩角差的正弦公式化簡函數解析式，再分別利用各種三角函數的定義域即可求出函數f (x)的定義域，利用周期公式可求周期
第(2)問
求什么想什么
討論f (x)在區(qū)間上的單調性，想到正弦函數y＝sin x的單調性
給什么用什么
第(1)問中已經將函數f (x)化為f (x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，用整體代換求單調區(qū)間，并與區(qū)間求交集
[規(guī)范解答]
(1)f (x)的定義域為.
f (x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x
－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(2sin2x－1)
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin.
所以f (x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，則函數y＝2sin z的單調遞增區(qū)間是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
設A＝，B＝，k∈Z，易知A∩B＝.
所以當x∈時，f (x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．
[關鍵點撥]
解答此類問題的關鍵在于“變”，其思路為“一角二名三結構”
升冪(降冪)公式口訣：“冪降一次，角翻倍，冪升一次，角減半”．
△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．
[破題思路]
第(1)問
求什么想什么
求角C，想到求C的某一個三角函數值
給什么用什么
題目條件中給出關系式2cos C(acos B＋bcos A)＝c.用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一角或邊，可求角C的一個三角函數值，進而求出C的值
第(2)問
求什么想什么
求△ABC的周長，想到求△ABC各邊的長或直接求a＋b＋c的值
給什么用什么
已知c＝，△ABC的面積為，用S△ABC＝absin C＝可建立ab的關系式
差什么找什么
求周長，還需a＋b的值．通過以上步驟可知△ABC中C，c及ab的值，利用余弦定理即可求出a＋b的值
[規(guī)范解答]
(1)法一：由2cos C(acos B＋bcos A)＝c，
得2cos C(sin Acos B＋sin B
cos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C.
因為A＋B＋C＝π，
A，B，C∈(0，π)，
所以sin(A＋B)＝sin C>0，
所以2cos C＝1，cos C＝.
因為C∈(0，π)，所以C＝.
法二：由2cos C(acos B＋bcos A)＝c，
得2cos C＝c，
整理得2cos C＝1，
即cos C＝.
因為C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因為S＝absin C＝ab＝，所以ab＝6，
由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C，
得7＝a2＋b2－2ab，
即(a＋b)2－3ab＝7，
所以(a＋b)2－18＝7，
即a＋b＝5，所以△ABC的周長為a＋b＋c＝5＋.
[關鍵點撥] 利用正、余弦定理求解問題的策略
角化邊
利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含邊的關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，進而求解
邊化角
利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變換，得出內角的關系，進而求解
[對點訓練]
1．(2018全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90，∠A＝45，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos ∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，
所以sin ∠ADB＝.
由題設知，∠ADB<90，
所以cos ∠ADB＝ ＝.
(2)由題設及(1)知，
cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BDDCcos ∠BDC
＝25＋8－252＝25，所以BC＝5.
2．已知函數f (x)＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋1(ω＞0)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)求ω的值及函數f (x)的單調遞減區(qū)間；
(2)已知a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對邊，且滿足a＝，f (A)＝1，求△ABC面積S的最大值．
解：(1)f (x)＝sin 2ωx－＋1
＝sin＋.
因為函數f (x)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以T＝π，即＝π，所以ω＝1.
所以f (x)＝sin＋.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
所以函數f (x)的單調遞減區(qū)間為(k∈Z)．
(2)由f (A)＝1，得sin＝.
因為2A＋∈，
所以2A＋＝，得A＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即()2＝b2＋c2－2bccos ，
所以bc＋3＝b2＋c2≥2bc，
解得bc≤3，當且僅當b＝c時等號成立．
所以S△ABC＝bcsin A≤3＝，
所以△ABC面積S的最大值為.
[總結升華]
高考試題中的三角函數解答題相對比較傳統(tǒng)，難度較低，大家在復習時，應“明確思維起點，把握變換方向，抓住內在聯系，合理選擇公式”是解答此類題的關鍵．在解題時，要緊緊抓住“變”這一核心，靈活運用公式與性質， 仔細審題，快速運算．
[專題跟蹤檢測](對應配套卷P177)
一、全練保分考法——保大分
1．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝，c＝2，cos A＝，則b＝( )
A. B.
C．2 D．3
解析：選D 由余弦定理得5＝22＋b2－22bcos A，
∵cos A＝，∴3b2－8b－3＝0，
∴b＝3.
2．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知a＝6，b＝4，C＝120，則sin B＝( )
A. B.
C. D．－
解析：選B 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝76，所以c＝.由正弦定理得＝，所以sin B＝＝＝.
3．已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，則△ABC的面積為( )
A. B．1
C. D．2
解析：選C ∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝.∵A為△ABC的內角，∴A＝60，∴S△ABC＝bcsin A＝4＝.
4．(2019屆高三洛陽第一次統(tǒng)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數列，且a2＝c2＋ac－bc，則＝( )
A. B.
C. D.
解析：選B 由a，b，c成等比數列得b2＝ac，則有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，因為A為△ABC的內角，所以A＝，對于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sin Asin C＝sin C，由正弦定理得，＝＝＝.
5．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C＝( )
A. B.
C. D.
解析：選B 在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，
則sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，
即sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
∴cos Asin C＋sin Asin C＝0，
∵sin C≠0，∴cos A＋sin A＝0，
即tan A＝－1，所以A＝.
由＝得＝，∴sin C＝，
又00.
從而tan B＝－tan(A＋C)＝－＝＝，由基本不等式，得＋3tan C≥2 ＝2，當且僅當tan C＝時等號成立，此時角B取得最大值，且tan B＝tan C＝，tan A＝－，即b＝c，A＝120，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周長為2＋.
法二：由已知b＋2ccos A＝0，得b＋2c＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，當且僅當a＝c時等號成立，此時角B取得最大值，將a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝，故△ABC的周長為2＋.
3．(2019屆高三惠州調研)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對邊，a＝4，b∈(4,6)，sin 2A＝sin C，則c的取值范圍為______________．
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，∴c＝8cos A，
由余弦定理得16＝b2＋c2－2bccos A，
∴16－b2＝64cos2A－16bcos2A，
又b≠4，∴cos2A＝＝＝，
∴c2＝64cos2A＝64＝16＋4 B.
∵b∈(4,6)，∴32
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通用版2019版高考數學二輪復習
第一部分
專題六
三角恒等變換與解三角形講義
理重點生，含解析
通用版
2019
高考
數學
二輪
復習
第一
部分
專題
三角
恒等
變換
三角形
講義
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