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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講講明不等式的基本方法一比較法講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc

上傳人：max****ui

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一比較法 1．作差比較法 (1)作差比較法的理論依據(jù)a－b>0?a>b，a－b<0?a0，若>1，則a>b；若<1，則a1，則ab. (2)作商比較法解題的一般步驟： ①判定a，b的符號；②作商；③變形整理；④判定與1大小關(guān)系；⑤得出結(jié)論．作差比較法證明不等式 [例1]　已知x>y，求證：x3－x2y＋xy2>x2y－xy2＋y3. [思路點(diǎn)撥]　因?yàn)椴坏仁絻蛇吺峭环N性質(zhì)的整式，所以可以直接通過作差比較大?。? [證明]　x3－x2y＋xy2－(x2y－xy2＋y3) ＝x(x2－xy＋y2)－y(x2－xy＋y2) ＝(x－y)(x2－xy＋y2) ＝(x－y). 因?yàn)閤>y，所以x－y>0，于是(x－y)>0，所以x3－x2y＋xy2>x2y－xy2＋y3. (1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差能否化簡或值是多少． (2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法． (3)因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用配方法判斷符號．有時(shí)會遇到結(jié)果符號不能確定，這時(shí)候要對差式進(jìn)行分類討論． 1．求證：a2＋b2≥2(a－b－1)．證明：a2＋b2－2(a－b－1) ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)． 2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，求證：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．證明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝a(bn－an)＋b(an－bn) ＝(a－b)(bn－an)． ①當(dāng)a>b>0時(shí)，bn－an<0，a－b＞0， ∴(a－b)(bn－an)<0. ②當(dāng)b>a>0時(shí)，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. ③當(dāng)a＝b>0時(shí)，(bn－an)(a－b)＝0. 綜合①②③可知，對于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1). 作商比較法證明不等式 [例2]　設(shè)a>0，b>0，求證：aabb≥(ab). [思路點(diǎn)撥]　不等式兩端都是指數(shù)式，它們的值均為正數(shù)，可考慮用作商比較法． [證明]　∵aabb>0，(ab)>0， ∴＝ab＝. 當(dāng)a＝b時(shí)，顯然有＝1；當(dāng)a>b>0時(shí)，>1，>0， ∴由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，有>1；當(dāng)b>a>0時(shí)，0<<1，<0， ∴由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有>1. 綜上可知，對任意實(shí)數(shù)a，b，都有aabb≥(ab). 當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí)，常采用作商比較法，用作商比較法時(shí)，如果需要在不等式兩邊同乘某個(gè)數(shù)，要注意該數(shù)的正負(fù)，且最后結(jié)果與1比較． 3．已知a>b>c>0.求證：a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b. 證明：由a>b>c>0，得ab＋cbc＋aca＋b>0. 作商＝＝aa－baa－cbb－cbb－acc－acc－b ＝a－ba－cb－c. 由a>b>c>0，得a－b>0，a－c>0，b－c>0，且>1，>1，>1. ∴a－ba－cb－c>1. ∴a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b. 4．設(shè)n∈N，n>1，求證logn(n＋1)>log(n＋1)(n＋2)．證明：因?yàn)閚>1，所以logn(n＋1)>0，log(n＋1)(n＋2)>0，所以＝log(n＋1)(n＋2)log(n＋1)n ≤2 ＝2 <2＝1. 故log(n＋1)(n＋2)a時(shí)，設(shè)m＝a＋x(x>0)，乘坐起步價(jià)為10元的出租車費(fèi)用為P(x)元．乘坐起步價(jià)為8元的出租車費(fèi)用為Q(x)元，則P(x)＝10＋1.2 x， Q(x)＝8＋1.4x. ∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)， ∴當(dāng)x>10時(shí)，P(x)Q(x)，此時(shí)選起步價(jià)為8元的出租車較為合適．當(dāng)x＝10時(shí)，P(x)＝Q(x)，兩種出租車任選，費(fèi)用相同． 1．下列關(guān)系中對任意a1 D.a2>b2 解析：選B　∵a－b>0. (－a)2>(－b)2>0. 即a2>b2>0.∴<1. 又lg b2－lg a2＝lgQ B．P0恒成立， ∴Q≥P. 法二：P－Q＝＝， ∵a2＋a＋1>0恒成立且a4＋a2≥0， ∴P－Q≤0，即Q≥P. 3．已知a>0，b>0，m＝＋，n＝＋，p＝，則m，n，p的大小關(guān)系是(　　) A．m≥n>p B．m>n≥p C．n>m>p D．n≥m>p 解析：選A　由m＝＋，n＝＋，得a＝b>0時(shí)，m＝n, 可排除B、C項(xiàng)．比較A、D項(xiàng)，不必論證與p的關(guān)系．取特殊值a＝4，b＝1，則m＝4＋＝，n＝2＋1＝3，∴m>n，可排除D，故選A. 4．設(shè)m>n，n∈N＋，a＝(lg x)m＋(lg x)－m，b＝(lg x)n＋(lg x)－n，x>1，則a與b的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)≥b B．a(chǎn)≤b C．與x值有關(guān)，大小不定 D．以上都不正確解析：選A　a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx ＝(lgmx－lgnx)－＝(lgmx－lgnx)－＝(lgmx－lgnx) ＝(lgmx－lgnx). ∵x>1，∴l(xiāng)g x>0. 當(dāng)0b；當(dāng)lg x＝1時(shí)，a＝b；當(dāng)lg x>1時(shí)，a>b. ∴應(yīng)選A. 5．若0Q，則實(shí)數(shù)a，b滿足的條件為________．解析：P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a ＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a ＝(ab－1)2＋(a＋2)2， ∵P>Q，∴P－Q>0，即(ab－1)2＋(a＋2)2>0， ∴ab≠1或a≠－2. 答案： ab≠1或a≠－2 7．一個(gè)個(gè)體戶有一種商品，其成本低于元．如果月初售出可獲利100元，再將本利存入銀行，已知銀行月息為2.5%，如果月末售出可獲利120元，但要付成本的2%的保管費(fèi)，這種商品應(yīng)________出售(填“月初”或“月末”)．解析：設(shè)這種商品的成本費(fèi)為a元．月初售出的利潤為L1＝100＋(a＋100)2.5%，月末售出的利潤為L2＝120－2%a，則L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a ＝0.045， ∵a<， ∴L10，即ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz. ax＋by＋cz－(bx＋ay＋cz)＝(a－b)x＋(b－a)y＝(a－b)(x－y)>0， ∴ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz. ax＋by＋cz－(bx＋cy＋az)＝(a－b)x＋(b－c)y＋(c－a)z＝(a－b)x＋(b－c)y＋[(c－b)＋(b－a)]z＝(a－b)(x－z)＋(b－c)(y－z)>0， ∴ax＋by＋cz>bx＋cy＋az. 故ax＋by＋cz最大．

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