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專題檢測（三） 不等式 一、選擇題 1．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式 x2＋ax＋b＜0的解集為A∩B，則a＋b＝(　　) A．1　　　 　B．0　　　　 C．－1　　　　 D．－3 解析：選D　由題意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1，3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集為(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3. 2．若x>y>0，m>n，則下列不等式正確的是(　　) A．xm>ym　　　　　 　B．x－m≥y－n C.> D．x> 解析：選D　A不正確，因為同向同正不等式相乘，不等號方向不變，m可能為0或負數(shù)；B不正確，因為同向不等式相減，不等號方向不確定；C不正確，因為m，n的正負不確定．故選D. 3．已知a∈R，不等式≥1的解集為p，且－2?p，則a的取值范圍為(　　) A．(－3，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞) 解析：選D　∵－2 ? p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3. 4．(2018成都一診)若關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－1,1] D．[0，＋∞) 解析：選B　法一：當x＝0時，不等式為1≥0恒成立； 當x＞0時，x2＋2ax＋1≥0?2ax≥－(x2＋1)?2a≥－，又－≤－2，當且僅當x＝1時取等號，所以2a≥－2?a≥－1，所以實數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)． 法二：設f(x)＝x2＋2ax＋1，函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝－a. 當－a≤0，即a≥0時，f(0)＝1＞0，所以當x∈[0，＋∞)時，f(x)≥0恒成立； 當－a＞0，即a＜0時，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝ －a2＋1≥0，得－1≤a＜0.綜上，實數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)． 5．已知函數(shù)f(x)＝若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，0) B．[－2,2] C．(－∞，2] D．[0,2] 解析：選C　由f(x)≥－1在R上恒成立，可得當x≤0時，2x－1≥－1，即2x≥0，顯然成立；又x＞0時，x2－ax≥－1，即為a≤＝x＋，由x＋≥2 ＝2，當且僅當x＝1時，取得最小值2，可得a≤2，綜上可得實數(shù)a的取值范圍為(－∞，2]． 6．若<<0，給出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正確的不等式的序號是(　　) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 解析：選C　法一：因為<<0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②錯誤；因為ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④錯誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C. 法二：由<<0，可知b0，所以<，故①正確； ②中，因為b－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②錯誤； ③中，因為b－>0，所以a－>b－，故③正確； ④中，因為ba2>0，而y＝ln x在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以ln b2>ln a2，故④錯誤． 由以上分析，知①③正確． 7．(2018長春質(zhì)檢)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最小值為(　　) A．8 B．9 C．12 D．16 解析：選B　由4x＋y＝xy，得＋＝1，則x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，當且僅當＝，即x＝3，y＝6時取“＝”，故選B. 8．如果實數(shù)x，y滿足不等式組目標函數(shù)z＝kx－y的最大值為6，最小值為0，則實數(shù)k的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 則A(1,2)，B(1，－1)，C(3,0)， 因為目標函數(shù)z＝kx－y的最小值為0， 所以目標函數(shù)z＝kx－y的最小值可能在A或B處取得， 所以若在A處取得，則k－2＝0，得k＝2，此時，z＝2x－y在C點有最大值，z＝23－0＝6，成立； 若在B處取得，則k＋1＝0，得k＝－1，此時，z＝－x－y， 在B點取得最大值，故不成立，故選B. 9．(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤為(　　) 甲 乙 原料限額 A/噸 3 2 12 B/噸 1 2 8 A．15萬元 B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元 解析：選D　設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，獲利潤z萬元，由題意可知 z＝3x＋4y，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，直線z＝3x＋4y過點M時取得最大值，由得∴M(2,3)， 故z＝3x＋4y的最大值為18，故選D. 10．已知實數(shù)x，y滿足約束條件若y≥kx－3恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C．(－∞，0]∪ D.∪[0，＋∞) 解析：選A　由約束條件 作出可行域如圖中陰影分部所示， 則A，B(3，－3)，C(3,8)， 由題意得 解得－≤k≤0. 所以實數(shù)k的取值范圍是. 11．若兩個正實數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋－n2－＜0有解，則實數(shù)n的取值范圍是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C．(1，＋∞) D. 解析：選B　因為不等式x＋－n2－＜0有解， 所以min＜n2＋， 因為x＞0，y＞0，且＋＝1， 所以x＋＝＝＋＋≥＋2 ＝， 當且僅當＝，即x＝，y＝5時取等號， 所以min＝， 故n2＋－＞0，解得n＜－或n＞1， 所以實數(shù)n的取值范圍是∪(1，＋∞)． 12．(2019屆高三福州四校聯(lián)考)設x，y滿足約束條件其中a＞0，若的最大值為2，則a的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設z＝，則y＝x，當z＝2時，y＝－x，作出x，y滿足的約束條件所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，易知此直線與區(qū)域的邊界線2x－2y－1＝0的交點為，當直線x＝a過點時，a＝，又此時直線y＝x的斜率的最小值為－，即－1＋的最小值為－，即z的最大值為2，符合題意，所以a的值為，故選C. 二、填空題 13．(2018岳陽模擬)不等式≥1的解集為________． 解析：不等式≥1可轉(zhuǎn)化成－1≥0，即≥0， 等價于解得≤x＜2， 故不等式的解集為. 答案： 14．(2018全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示．由圖可知當直線x＋y＝z過點A時z取得最大值． 由得點A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9. 答案：9 15．已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為xx＜－1或x＞，則關(guān)于x的不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0的解集為________． 解析：由題意知－1，是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根， 所以且a＜0， 所以 所以不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0化為 －a(lg x)2＋blg x＋a＜0， 即－a(lg x)2＋alg x＋a＜0. 所以(lg x)2－lg x－2＜0， 所以－1＜lg x＜2，所以＜x＜100. 答案： 16．設x＞0，y＞0，且2＝，則當x＋取最小值時，x2＋＝________. 解析：∵x＞0，y＞0，∴當x＋取最小值時，2取得最小值， ∵2＝x2＋＋，2＝， ∴x2＋＝＋，2＝＋≥2 ＝16， ∴x＋≥4，當且僅當＝，即x＝2y時取等號， ∴當x＋取最小值時，x＝2y，x2＋＋＝16，即x2＋＋＝16， ∴x2＋＝16－4＝12. 答案：12