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第一章 導數及其應用
滾動訓練二(1.3～1.4)
一、選擇題
1．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)( )
A．無極大值點，有四個極小值點
B．有三個極大值點，兩個極小值點
C．有兩個極大值點，兩個極小值點
D．有四個極大值點，無極小值點
考點 函數極值的應用
題點 函數極值在函數圖象上的應用
答案 C
解析 f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是極大值，f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是極小值，由題圖易知有兩個極大值點，兩個極小值點．
2．若函數f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)內單調遞減，則實數a的取值范圍是( )
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 已知函數單調性求參數(或其范圍)
答案 A
解析 ∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)內單調遞減，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)內恒成立，
∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
3.已知定義在R上的函數f(x)，其導函數f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
考點 利用導數研究函數的單調性
題點 比較函數值的大小
答案 C
解析 依題意得，當x∈(－∞，c)時，f′(x)>0，
因此，函數f(x)在(－∞，c)上是增函數，
由于a
f(b)>f(a)．
4．函數f(x)＝x＋2cos x在上取最大值時的x值為( )
A．0 B.
C. D.
考點 利用導數求函數的最值
題點 利用導數求不含參數函數的最值
答案 B
解析 由f′(x)＝1－2sin x＝0，得sin x＝，
又x∈，所以x＝，
當x∈時，f′(x)>0；
當x∈時，f′(x)<0，
故當x＝時取得最大值．
5．已知函數f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2處有極值，其圖象在點(1，f(1))處的切線與直線3x＋y＝0平行，則函數f(x)的單調遞減區(qū)間為( )
A．(－∞，0) B．(0,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
考點 利用導數求函數的單調區(qū)間
題點 利用導數求含參數函數的單調區(qū)間
答案 B
解析 ∵f(x)＝ax3＋bx2，∴f′(x)＝3ax2＋2bx，
∴即
令f′(x)＝3x2－6x<0，則00，則函數的導數f′(x)＝1－＝，
由f′(x)>0得x>或x<－，此時函數單調遞增，
由f′(x)<0得－0，
∴φ(x)在(0,1]上遞增，φ(x)max＝φ(1)＝－6，
∴a≥－6.
當x∈[－2,0)時，a≤，
∴a≤min.
仍設φ(x)＝，φ′(x)＝－.
當x∈[－2，－1)時，φ′(x)<0，
當x∈(－1,0)時，φ′(x)>0.
∴當x＝－1時，φ(x)有極小值，即為最小值．
而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.
綜上知－6≤a≤－2.
二、填空題
9．若函數f(x)＝x3＋x2＋m在區(qū)間[－2,1]上的最大值為，則m＝________.
考點 導數在最值問題中的應用
題點 已知最值求參數
答案 2
解析 f′(x)＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1.
又f(0)＝m，f(－1)＝m＋，
f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，
∴當x∈[－2,1]時，最大值為f(1)＝m＋，
∴m＋＝，∴m＝2.
10.已知函數f(x)的導函數f′(x)是二次函數，如圖是f′(x)的大致圖象，若f(x)的極大值與極小值的和等于，則f(0)的值為________．
考點 利用導數研究函數的極值
題點 已知極值求參數
答案
解析 ∵其導函數的函數值應在(－∞，－2)上為正數，在(－2,2)上為負數，在(2，＋∞)上為正數，
由導函數圖象可知，函數在(－∞，－2)上為增函數，在(－2,2)上為減函數，在(2，＋∞)上為增函數，
∴函數在x＝－2時取得極大值，在x＝2時取得極小值，且這兩個極值點關于點(0，f(0))對稱，
由f(x)的極大值與極小值之和為，得f(－2)＋f(2)＝2f(0)，
∴＝2f(0)，則f(0)的值為.
11．已知函數f(x)＝xex＋c有兩個零點，則c的取值范圍是________．
考點 函數極值的綜合應用
題點 函數零點與方程的根
答案
解析 ∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上單調遞減，在(－1，＋∞)上單調遞增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由題意得c－e－1<0，得c0，得1≤x<4，由y′<0，得40)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，求實數m的取值范圍．
考點 利用導數求函數中參數的取值范圍
題點 利用導數求恒成立問題中參數的取值范圍
解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴當x＝－t時，f(x)有最小值f(－t)＝h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(舍去)．
當t變化時，g′(t)，g(t)的變化情況如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
1－m
↘
∴當t∈(0,2)時，g(t)max＝g(1)＝1－m.
∵h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，
∴g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故實數m的取值范圍是(1，＋∞)．
四、探究與拓展
14．已知函數f(x)＝2ln x＋(a>0)．若當x∈(0，＋∞)時，f(x)≥2恒成立，則實數a的取值范圍是________．
考點 利用導數求函數中參數的取值范圍
題點 利用導數求恒成立問題中參數的取值范圍
答案 [e，＋∞)
解析 f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，
則g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝或0(舍去)，
當00；
當x>時，g′(x)<0，
∴當x＝時，g(x)取最大值g()＝e，∴a≥e.
15．已知函數f(x)＝ln(x＋1)＋(a∈R)．
(1)當a＝1時，求函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；
(2)討論函數f(x)的極值；
(3)求證：ln(n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)．
考點 利用導數研究函數的單調性
題點 構造法的應用
(1)解 當a＝1時，f(x)＝ln(x＋1)＋，
所以f′(x)＝＋＝，
所以f′(0)＝2，
又f(0)＝0，
所以函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝2x.
(2)解 f′(x)＝＋
＝(x>－1)．
令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.
若－a－1≤－1，即a≥0，
則f′(x)>0恒成立，此時f(x)無極值．
若－a－1>－1，即a<0，
當－1－a－1時，f′(x)>0，
此時f(x)在x＝－a－1處取得極小值，
極小值為ln(－a)＋a＋1.
(3)證明 當a＝－1時，由(2)知，f(x)min＝f(0)＝0，
所以ln(x＋1)－≥0，即ln(x＋1)≥.
令x＝(n∈N*)，
則ln≥＝，
所以ln≥.
又因為－＝>0，
所以>，
所以ln>，
所以ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，
即ln(n＋1)>＋＋＋…＋.
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