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考點15 平面 1．平面的有關概念 幾何里所說的“平面”是從生活中的一些物體中抽象出來的，是無限延展的． 通常把水平的平面畫成一個平行四邊形，用平行四邊形表示平面，如圖，平行四邊形的銳角通常畫成45，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍． 平面表示為：平面α、平面AC、平面BD或者．平面ABCD． 2．點、直線、平面間的關系表示 （1）點P在直線l上，記作；點P在直線l外，記作；如果直線l上的所有點都在平面α內(nèi)，就說直線l在平面α內(nèi)，或者說平面α經(jīng)過直線l，記作；否則，就說直線l在平面α外，記作． （2）點A在平面α內(nèi)，記作；點B在平面α外，記作． （3）平面α與平面β相交于直線l，記作α∩β＝l． 3．基本性質 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)，或者說直線在平面內(nèi)，或平面經(jīng)過直線． 公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．也可以簡單地說成：不共線的三點確定一個平面． 推論：（1）推論1 經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面． （2）推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面． （3）推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面． 公理3：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線． 如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交，這條公共直線叫做這兩個平面的交線． 【例】在三棱錐A－BCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點，如果EF∩HG＝P，則點P( ) A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上 C．在直線AC或BD上 D．不在直線AC上，也不在直線BD上 【答案】B 【規(guī)律方法】解決點線共面問題的基本方法是納入法和同一法． 納入法： 同一法： 1．下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是( ) 【答案】D 【解析】畫兩個相交平面時，被遮住的部分用虛線表示． 2．如果直線a平面α，直線b平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么( ) A．lα B．l∈α C．l∩α＝M D．l∩α＝N 【答案】A 3．下列命題中一定正確的是( ) A．三個點確定一個平面 B．三條平行直線必共面 C．三條相交直線必共面 D．梯形一定是平面圖形 【答案】D 【解析】由公理2，知梯形是平面圖形，故選D． 【規(guī)律總結】解決立體幾何問題首先應過好三大語言關，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉換為符號語言．文字語言和符號語言在轉換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛． 4．下面給出了四個條件：①空間三個點；②一條直線和一個點；③和直線a都相交的兩條直線；④兩兩相交的三條直線．其中，能確定一個平面的條件有( ) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【答案】A 【解析】①中空間三點共線時不能確定一個平面．②中點在直線上時不能確定一個平面．③中兩直線若不平行也不相交時不能確定一個平面．④中三條直線交于一點且不共面時不能確定一個平面． 【解題技巧】在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時要體會三個公理的作用，體會先部分再整體的思想． 5．一條直線和這條直線外不共線的三點，最多可確定( ) A．三個平面 B．四個平面 C．五個平面 D．六個平面 【答案】B 【解析】直線和直線外的每一個點都可以確定一個平面，有三個平面，另外，不共線的三點可以確定一個平面，共可確定四個平面． 6．如圖所示，△ABC在平面α外，其三邊所在的直線分別與α交于P、Q、R三點，判斷P、Q、R三點是否共線，并說明理由． 7．如圖所示，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD（或延長線）分別與平面α相交于E，F(xiàn)，G，H，求證：E，F(xiàn)，G，H必在同一直線上． 1．平面α∩平面β＝l，點A∈α，點B∈β，且B?l，點C∈α，又AC∩l＝R，過A、B、C三點確定的平面為γ，則β∩γ是( ) A．直線CR B．直線BR C．直線AB D．直線BC 【答案】B 【解析】A∈γ，C∈γ，則AC?γ，∴R∈γ，R∈l，l?β，∴R∈β，則BR?β，又B∈γ，R∈γ，則BR?γ，故β∩γ＝BR． 2．在三棱錐A—BCD的棱AB、BC、CD、DA上分別取點E、F、G、H，如果EF與HG相交于一點M，那么( ) A．M一定在直線AC上 B．M一定在直線BD上 C．M可能在直線AC上，也可能在直線BD上 D．M既不在直線AC上，也不在直線BD上 【答案】A 【解析】如圖所示，因為E∈AB，F(xiàn)∈BC，由基本性質1知EF?面ABC，因為G∈CD，H∈AD，由基本性質1知GH?面ACD．而面ABC∩面ACD＝AC，EF和HG若相交，則交點既在平面ABC內(nèi)又在平面ACD內(nèi)，因此一定在平面ABC和平面ACD的交線AC上，應選A． 3．一條直線與另外兩條直線都相交，它們能確定的平面的個數(shù)為________． 【答案】1或2或3 【解析】如圖，空間三條直線中的一條直線與其他兩條都相交，那么由這三條直線可確定的平面的個數(shù)是1(如圖（1）所示)，或2(如圖（2）所示)，或3(如圖（3）所示)． 4．已知正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q． 求證：（1）D，B，F(xiàn)，E四點共面； （2）若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線． 【解析】如圖． （2）正方體AC1中，設平面A1ACC1確定的平面為α，又設平面BDEF為β． ∵Q∈A1C1， ∴Q∈α．又Q∈EF，∴Q∈β． 則Q是α與β的公共點，同理P是α與β的公共點， ∴α∩β＝PQ． 又A1C∩β＝R，∴R∈A1C． ∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ． 故P，Q，R三點共線． 從自行車看三點共面 自行車是我們常見的交通工具，在霧霾籠罩，大氣污染嚴重的當今社會被各國政府大力提倡．