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2019-2020年新人教版高中數(shù)學(xué)選修2《命題及其關(guān)系》2課時(shí)教案 （一）教學(xué)目標(biāo) １、知識(shí)與技能：理解命題的概念和命題的構(gòu)成，能判斷給定陳述句是否為命題，能判斷命題的真假；能把命題改寫成“若p，則q”的形式； ２、過程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力； ３、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 （二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：命題的概念、命題的構(gòu)成 難點(diǎn)：分清命題的條件、結(jié)論和判斷命題的真假 （三）教學(xué)過程 1．復(fù)習(xí)回顧 初中已學(xué)過命題的知識(shí)，請(qǐng)同學(xué)們回顧：什么叫做命題？ 2．思考、分析 下列語句的表述形式有什么特點(diǎn)？你能判斷他們的真假嗎？ （1）若直線a∥b，則直線a與直線b沒有公共點(diǎn) ． （2）2+4=7． （3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行． （４）若x2=1,則x=1． （５）兩個(gè)全等三角形的面積相等． （６）３能被２整除． 3．討論、判斷 學(xué)生通過討論，總結(jié)：所有句子的表述都是陳述句的形式，每句話都判斷什么事情。其中（1）（3）（5）的判斷為真，（2）（4）（6）的判斷為假。 教師的引導(dǎo)分析：所謂判斷，就是肯定一個(gè)事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、歸納 定義：一般地，我們把用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題． 命題的定義的要點(diǎn)：能判斷真假的陳述句． 在數(shù)學(xué)課中，只研究數(shù)學(xué)命題，請(qǐng)學(xué)生舉幾個(gè)數(shù)學(xué)命題的例子． 教師再與學(xué)生共同從命題的定義，判斷學(xué)生所舉例子是否是命題，從“判斷”的角度來加深對(duì)命題這一概念的理解． 5．練習(xí)、深化 判斷下列語句是否為命題？ （１）空集是任何集合的子集． （２）若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則是a奇數(shù)． （３）指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？ （４）若平面上兩條直線不相交，則這兩條直線平行． （５）＝－２． （６）x＞１５． 讓學(xué)生思考、辨析、討論解決，且通過練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：判斷一個(gè)語句是不是命題，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：第一是“陳述句”，第二是“可以判斷真假”，這兩個(gè)條件缺一不可．疑問句、祈使句、感嘆句均不是命題． 解略。 引申：以前，同學(xué)們學(xué)習(xí)了很多定理、推論，這些定理、推論是否是命題？同學(xué)們可否舉出一些定理、推論的例子來看看？ 通過對(duì)此問的思考，學(xué)生將清晰地認(rèn)識(shí)到定理、推論都是命題． 過渡：同學(xué)們都知道，一個(gè)定理或推論都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成（結(jié)合學(xué)生所舉定理和推論的例子，讓學(xué)生分辨定理和推論條件和結(jié)論，明確所有的定理、推論都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成）。緊接著提出問題：命題是否也是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成呢？ 6.命題的構(gòu)成――條件和結(jié)論 定義：從構(gòu)成來看，所有的命題都具由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成．在數(shù)學(xué)中，命題常寫成“若p，則q”或者 “如果p，那么q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件,q叫做命題結(jié)論． 7．練習(xí)、深化 指出下列命題中的條件p和結(jié)論q，并判斷各命題的真假． （１）若整數(shù)a能被２整除，則a是偶數(shù)． （２）若四邊行是菱形，則它的對(duì)角線互相垂直平分． （３）若a＞0，b＞0，則a+b＞0． （４）若a＞0，b＞0，則a+b＜0． （５）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行． 此題中的（１）（２）（３）（４），較容易，估計(jì)學(xué)生較容易找出命題中的條件p和結(jié)論q，并能判斷命題的真假。其中設(shè)置命題（３）與（４）的目的在于：通過這兩個(gè)例子的比較，學(xué)更深刻地理解命題的定義——能判斷真假的陳述句，不管判斷的結(jié)果是對(duì)的還是錯(cuò)的。 此例中的命題（５），不是“若P，則q”的形式，估計(jì)學(xué)生會(huì)有困難，此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析：已知的事項(xiàng)為“條件”，由已知推出的事項(xiàng)為“結(jié)論”． 解略。 過渡：從例２中，我們可以看到命題的兩種情況，即有些命題的結(jié)論是正確的，而有些命題的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么我們就有了對(duì)命題的一種分類：真命題和假命題． 8．命題的分類――真命題、假命題的定義． 真命題：如果由命題的條件P通過推理一定可以得出命題的結(jié)論q，那么這樣的命題叫做真命題． 假命題：如果由命題的條件P通過推理不一定可以得出命題的結(jié)論q，那么這樣的命題叫做假命題． 強(qiáng)調(diào)： 　(１)注意命題與假命題的區(qū)別．如：“作直線AB”．這本身不是命題．也更不是假命題． (２)命題是一個(gè)判斷，判斷的結(jié)果就有對(duì)錯(cuò)之分．因此就要引入真命題、假命題的的概念，強(qiáng)調(diào)真假命題的大前提，首先是命題。 9．怎樣判斷一個(gè)數(shù)學(xué)命題的真假？ 　　(１)數(shù)學(xué)中判定一個(gè)命題是真命題，要經(jīng)過證明． (２)要判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可． 10．練習(xí)、深化 例３：把下列命題寫成“若P，則q”的形式，并判斷是真命題還是假命題： （１） 面積相等的兩個(gè)三角形全等。 （２） 負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)。 （３） 對(duì)頂角相等。 分析：要把一個(gè)命題寫成“若P，則q”的形式，關(guān)鍵是要分清命題的條件和結(jié)論，然后寫成“若條件，則結(jié)論”即“若P，則q”的形式．解略。 11、課堂練習(xí)：Ｐ４　?。?、３ 12．課堂總結(jié)　　師生共同回憶本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容． 　　1．什么叫命題？真命題？假命題？　　 2．命題是由哪兩部分構(gòu)成的？ 　　3．怎樣將命題寫成“若P，則q”的形式．　　4．如何判斷真假命題． 　　教師提示應(yīng)注意的問題： 1．命題與真、假命題的關(guān)系． 　2．抓住命題的兩個(gè)構(gòu)成部分，判斷一些語句是否為命題． 　?。常袛嗉倜}，只需舉一個(gè)反例，而判斷真命題，要經(jīng)過證明． 13．作業(yè)：P9：習(xí)題1．１Ａ組第1題 1.1.2四種命題　1.1.3四種命題的相互關(guān)系 （一）教學(xué)目標(biāo) ◆知識(shí)與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的形式和四種命題間的相互關(guān)系，會(huì)用等價(jià)命題判斷四種命題的真假． ◆過程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，并寫出四種命題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、有創(chuàng)造性地解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和思維能力． ◆情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力． （二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：（1）會(huì)寫四種命題并會(huì)判斷命題的真假； （2）四種命題之間的相互關(guān)系． 難點(diǎn)：（1）命題的否定與否命題的區(qū)別； （2）寫出原命題的逆命題、否命題和逆否命題； （3）分析四種命題之間相互的關(guān)系并判斷命題的真假． （三）教學(xué)過程 １．復(fù)習(xí)引入 初中已學(xué)過命題與逆命題的知識(shí)，請(qǐng)同學(xué)回顧：什么叫做命題的逆命題？ 2．思考、分析 問題1：下列四個(gè)命題中，命題（1）與命題（2）、（3）、（4）的條件與結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？ （1）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)． （2）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)． （3）若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)． （4）若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)． ３．歸納總結(jié) 問題一通過學(xué)生分析、討論可以得到正確結(jié)論．緊接結(jié)合此例給出四個(gè)命題的概念，（１）和（２）這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，（１）和（３）這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題，（１）和（４）這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題。 ４．抽象概括 定義１：一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命題的逆命題． 讓學(xué)生舉一些互逆命題的例子。 定義２：一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題．其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命題的否命題． 讓學(xué)生舉一些互否命題的例子。 定義３：一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題．其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命題的逆否命題． 讓學(xué)生舉一些互為逆否命題的例子。 小結(jié)： (1) 交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的逆命題： (2) 同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的否命題； (3) 交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題就是它的逆否命題． 強(qiáng)調(diào)：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相對(duì)的。 ５．四種命題的形式 讓學(xué)生結(jié)合所舉例子，思考： 若原命題為“若P，則q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆否命題應(yīng)分別寫成什么形式？ 學(xué)生通過思考、分析、比較，總結(jié)如下： 原命題：若P，則q．則： 逆命題：若q，則P． 否命題：若￢P，則￢q．（說明符號(hào)“￢”的含義：符號(hào)“￢”叫做否定符號(hào)．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p） 逆否命題：若￢q，則￢P． ６．練習(xí)鞏固 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假： （１） 若一個(gè)三角形的兩條邊相等，則這個(gè)三角形的兩個(gè)角相等； （２） 若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是０，則這個(gè)整數(shù)能被５整除； （３） 若x2=1,則x=1； （４） 若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則是a奇數(shù)。 ７．思考、分析 結(jié)合以上練習(xí)思考：原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關(guān)系？ 通過此問，學(xué)生將發(fā)現(xiàn)： ①原命題為真，它的逆命題不一定為真。 ②原命題為真，它的否命題不一定為真。 ③原命題為真，它的逆否命題一定為真。 原命題為假時(shí)類似。 結(jié)合以上練習(xí)完成下列表格： 原 命 題 逆 命 題 否 命 題 逆 否 命 題 真 真 假 真 假 真 假 假 由表格學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，逆命題與否命題也總是具有相同的真假性． 由此會(huì)引起我們的思考： 一個(gè)命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的關(guān)系呢？ 讓學(xué)生結(jié)合所做練習(xí)分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命題四種命題間的關(guān)系． 學(xué)生通過分析，將發(fā)現(xiàn)四種命題間的關(guān)系如下圖所示： ８．總結(jié)歸納 若P，則q． 若q，則P． 原命題 互 逆 逆命題 互 否 互 為 否 逆 互 否 為 互 逆 否 否命題 逆否命題 互 逆 若￢P，則￢q． 若￢q，則￢P． 由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關(guān)系如下： （1）兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； （2）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題． ９．例題分析 例4： 證明：若p2 ＋ q2 ＝2，則p ＋ q ≤ 2． 分析：如果直接證明這個(gè)命題比較困難，可考慮轉(zhuǎn)化為對(duì)它的逆否命題的證明。 將“若p2 ＋ q2 ＝2，則p ＋ q ≤ 2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若p + q ＞2，則p2 + q2 ≠2”為真命題，從而達(dá)到證明原命題為真命題的目的． 證明：若p ＋ q ＞2，則 　　p2 ＋ q2　?。剑郏╬ －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞２２＝２ 所以p2 ＋ q2≠2． 這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。 練習(xí)鞏固：證明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，則a－b≠１． １０：課堂總結(jié) （１）逆命題、否命題與逆否命題的概念； （２）兩個(gè)命題互為逆否命題，他們有相同的真假性； （３）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒有關(guān)系； （４）原命題與它的逆否命題等價(jià)；否命題與逆命題等價(jià)． １１：作業(yè)　　P9：習(xí)題1．１Ａ組第２、３、４題