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課時(shí)18 空間幾何體的表面積與體積 模擬訓(xùn)練（分值：60分 建議用時(shí)：30分鐘） 1．一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖12－14所示，則這個(gè)空間幾何體的表面積是(　　) A．4π B．4π＋4 C．5π D．6π 【答案】B　 2．如圖12－13(1)所示，一只裝了水的密封瓶子，其內(nèi)部可以看成是由半徑為1 cm和半徑為3 cm的兩個(gè)圓柱組成的簡單幾何體．當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20 cm，當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28 cm，則這個(gè)簡單幾何體的總高度為(　　) 圖12－13 A．29 cm B．30 cm C．32 cm D．48 cm 【答案】A 【解析】 設(shè)小圓柱的高為h1，大圓柱的高為h2，則9πh2＋π(20－h(huán)2)＝πh1＋9π(28－h(huán)1)，即8h2＋20＝－8h1＋252，故h1＋h2＝＝29(cm)． 3．已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的體積最大（柱體體積=底面積高）時(shí)，其高的值為 （ ） （ ） A． B． C． D． 【答案】B 4．某品牌香水瓶的三視圖如圖12－2(單位：cm)，則該香水瓶的表面積為(　　) A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 【答案】C 【解析】這個(gè)空間幾何體上面是一個(gè)四棱柱、中間部分是一個(gè)圓柱、下面是一個(gè)四棱柱．所以說幾何體的表面積為 312＋312＋33＋33－＋π＋422＋422＋442－＝ cm2. 5．如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長為________ cm. 【答案】13 【知識(shí)拓展】求立體圖形表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，是立體幾何中的一個(gè)重要題型.這類題目的特點(diǎn)是：立體圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體圖形的幾個(gè)平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上.為了便于發(fā)現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面展開為平面，使問題得到解決.其基本步驟是：展開（有時(shí)全部展開，有時(shí)部分展開）為平面圖形，找出表示最短距離的線段，再計(jì)算此線段的長. 6．一個(gè)底面半徑為1，高為6的圓柱被一個(gè)平面截下一部分，如圖12－18，截下部分的母線最大長度為2，最小長度為1，則截下部分的體積是________． 【答案】 【解析】這樣的幾何體我們沒有可以直接應(yīng)用的體積計(jì)算公式，根據(jù)對(duì)稱性可以把它補(bǔ)成如圖所示的圓柱，這個(gè)圓柱的高是3，這個(gè)圓柱的體積是所求的幾何體體積的2倍，故所求的幾何體的體積是π123＝. 7．如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是________． 【答案】2πR2 【解析】 如圖為軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S，則2＋r2＝R2，即h＝2.因?yàn)镾＝2πrh＝4πr＝4π≤4π＝2πR2，取等號(hào)時(shí)，內(nèi)接圓柱底面半徑為 R，高為R，∴S球－S圓柱＝4πR2－2πR2＝2πR2. 8．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正(主)視圖是一個(gè)底邊長為8，高為4的等腰三角形，側(cè)(左)視圖是一個(gè)底邊長為6，高為4的等腰三角形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S. 9．正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，求棱錐的表面積和球的半徑． 【解析】過PA與球心O作截面PAE與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE，因△ABC是正三角形，易知AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，作為正三棱錐的高PD通過球心，且D是三角形△ABC的重心，據(jù)此根據(jù)底面邊長為2，即可算出DE＝AE＝2＝， PE＝＝， 由△POF∽△PED，知＝， ∴＝，r＝－2. ∴S表＝S側(cè)＋S底＝32＋(2)2＝9＋6. [新題訓(xùn)練] （分值：10分 建議用時(shí)：10分鐘） 10．（5分）圖中實(shí)線圍成的部分是長方體(圖(1))的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向圖2中虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，則此長方體的體積是________． 【答案】3 【解析】設(shè)長方體的高為h，則圖中虛線矩形的邊長分別是2h＋1,2h＋2，實(shí)線圍成的部分的面積是2＋4h，根據(jù)題意＝，即2h2－5h－3＝0，解得h＝－(舍去)或h＝3，故長方體的體積是3. 11. （5分）正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且正四面體的高為4，則這個(gè)球的表面積是________． 【答案】36π