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專題檢測(cè)（十四） 直線與圓 A組——“6＋3＋3”考點(diǎn)落實(shí)練 一、選擇題 1．“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的(　　) A．充要條件　　　　 　　 　B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　因?yàn)閮芍本€平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又當(dāng)a＝1，b＝4時(shí)，滿足ab＝4，但是兩直線重合，故選C. 2．已知直線l1過(guò)點(diǎn)(－2,0)且傾斜角為30，直線l2過(guò)點(diǎn)(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(3，) B．(2，) C．(1，) D. 解析：選C　直線l1的斜率k1＝tan 30＝，因?yàn)橹本€l2與直線l1垂直，所以直線l2的斜率k2＝－＝－，所以直線l1的方程為y＝(x＋2)，直線l2的方程為y＝－(x－2)，聯(lián)立解得即直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)． 3．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：選B　圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化為x2＋(y－a)2＝a2，由題意，M(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圓M：x2＋(y－2)2＝4，所以兩圓的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交． 4．(2018全國(guó)卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] 解析：選A　設(shè)圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離為d， 則圓心C(2,0)，r＝， 所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為＝2， 可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝. 由已知條件可得|AB|＝2， 所以△ABP面積的最大值為|AB|dmax＝6， △ABP面積的最小值為|AB|dmin＝2. 綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]． 5．已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－3，3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－2，2) D．[－3，3 ] 解析：選A　由圓的方程可知圓心為(0,0)，半徑為2.因?yàn)閳AO上到直線l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線l的距離d0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因?yàn)椋剑蔒，又點(diǎn)M在圓C上，故＋＝4，解得k＝0. 法二：由直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，且點(diǎn)M在圓C上，得圓心C(0,0)到直線x－ky＋1＝0的距離為半徑的一半，為1，即d＝＝1，解得k＝0. 二、填空題 7．已知直線l：x＋my－3＝0與圓C：x2＋y2＝4相切，則m＝________. 解析：因?yàn)閳AC：x2＋y2＝4的圓心為(0,0)，半徑為2，直線l：x＋my－3＝0與圓C： x2＋y2＝4相切，所以2＝，解得m＝ . 答案： 8．過(guò)點(diǎn)C(3,4)作圓x2＋y2＝5的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)C到直線AB的距離為________． 解析：以O(shè)C為直徑的圓的方程為2＋(y－2)2＝2，AB為圓C與圓O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程為x2＋y2－＝5－，化簡(jiǎn)得3x＋4y－5＝0，所以C到直線AB的距離d＝＝4. 答案：4 9．(2018貴陽(yáng)適應(yīng)性考試)已知直線l：ax－3y＋12＝0與圓M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B兩點(diǎn)，且∠AMB＝，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：直線l的方程可變形為y＝ax＋4，所以直線l過(guò)定點(diǎn)(0,4)，且該點(diǎn)在圓M上．圓的方程可變形為x2＋(y－2)2＝4，所以圓心為M(0，2)，半徑為2.如圖，因?yàn)椤螦MB＝，所以△AMB是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，高為，即圓心M到直線l的距離為，所以＝，解得a＝. 答案： 三、解答題 10．已知圓(x－1)2＋y2＝25，直線ax－y＋5＝0與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)若弦AB的垂直平分線l過(guò)點(diǎn)P(－2,4)，求實(shí)數(shù)a的值． 解：(1)把直線ax－y＋5＝0代入圓的方程， 消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0， 由于直線ax－y＋5＝0交圓于A，B兩點(diǎn)， 故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0， 即12a2－5a>0，解得a>或a<0， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)∪. (2)由于直線l為弦AB的垂直平分線，且直線AB的斜率為a，則直線l的斜率為－， 所以直線l的方程為y＝－(x＋2)＋4， 即x＋ay＋2－4a＝0，由于l垂直平分弦AB， 故圓心M(1,0)必在l上，所以1＋0＋2－4a＝0， 解得a＝，由于∈， 所以a＝. 11．已知以點(diǎn)A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過(guò)點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)． (1)求圓A的方程； (2)當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求直線l的方程． 解：(1)設(shè)圓A的半徑為R. 因?yàn)閳AA與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， 所以R＝＝2. 所以圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－2符合題意； 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)， 設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 由于|MN|＝2，于是2＋()2＝20，解得k＝， 此時(shí)，直線l的方程為3x－4y＋6＝0. 所以所求直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. 12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x－y＋1＝0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為. (1)求圓O的方程； (2)若直線l與圓O相切于第一象限，且直線l與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)D，E，當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最小時(shí)，求直線l的方程． 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)O到直線x－y＋1＝0的距離為， 所以圓O的半徑為 ＝， 故圓O的方程為x2＋y2＝2. (2)設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0， 由直線l與圓O相切，得＝，即＋＝，則|DE|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)＝4＋＋≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0. B組——大題專攻補(bǔ)短練 1．已知點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的 倍． (1)求曲線E的方程； (2)已知m≠0，設(shè)直線l1：x－my－1＝0交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mx＋y－m＝0交曲線E于B，D兩點(diǎn)．當(dāng)CD的斜率為－1時(shí)，求直線CD的方程． 解：(1)設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)， 由題意得 ＝， 整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3為所求． (2)由題意知l1⊥l2，且兩條直線均恒過(guò)點(diǎn)N(1，0)． 設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2,0)，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為P，連接EP，ED，NP，則直線EP：y＝x－2. 設(shè)直線CD：y＝－x＋t， 由解得點(diǎn)P， 由圓的幾何性質(zhì)，知|NP|＝|CD|＝ ， 而|NP|2＝2＋2，|ED|2＝3， |EP|2＝2， 所以2＋2＝3－，整理得t2－3t＝0， 解得t＝0或t＝3， 所以直線CD的方程為y＝－x或y＝－x＋3. 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心 在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍． 解：(1)因?yàn)閳A心在直線l：y＝2x－4上，也在直線y＝x－1上， 所以解方程組得圓心C(3,2)， 又因?yàn)閳A的半徑為1， 所以圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1， 又因?yàn)辄c(diǎn)A(0,3)，顯然過(guò)點(diǎn)A，圓C的切線的斜率存在， 設(shè)所求的切線方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 所以＝1，解得k＝0或k＝－， 所以所求切線方程為y＝3或y＝－x＋3， 即y－3＝0或3x＋4y－12＝0. (2)因?yàn)閳AC的圓心在直線l：y＝2x－4上， 所以設(shè)圓心C為(a,2a－4)， 又因?yàn)閳AC的半徑為1， 則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1. 設(shè)M(x，y)，又因?yàn)閨MA|＝2|MO|，則有 ＝2， 整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圓心為(0，－1)，半徑為2的圓，設(shè)為圓D， 所以點(diǎn)M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點(diǎn)， 所以2－1≤ ≤2＋1， 解得0≤a≤， 所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為. 3．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)，當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題： (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說(shuō)明理由； (2)證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值． 解：(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下： 設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2. 又C的坐標(biāo)為(0,1)， 故AC的斜率與BC的斜率之積為＝－， 所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況． (2)證明：由(1)知BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 可得BC的中垂線方程為y－＝x2. 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂線方程為x＝－. 聯(lián)立可得 所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r＝. 故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2＝3，即過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值． 4．(2018廣州高中綜合測(cè)試)已知定點(diǎn)M(1,0)和N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PN|＝|PM|. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)若A，B為(1)中軌跡C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k.當(dāng)k1k2＝3時(shí)，求k的取值范圍． 解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 因?yàn)镸(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|， 所以 ＝. 整理得，x2＋y2＝2. 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2. (2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋b. 由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.① 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.② 由k1k2＝＝＝3， 得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2， 即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③ 將②代入③，整理得b2＝3－k2.④ 由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤ 由①和④，解得k<－或k>.⑥ 要使k1，k2，k有意義，則x1≠0，x2≠0， 所以0不是方程(*)的根， 所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k的取值范圍為[－，－1)∪∪∪(1， ]．