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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修一 2-1-1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 教案 教學(xué)分析 我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)．從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)．進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪． 教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子：GDP的增長(zhǎng)問(wèn)題和碳14的衰減問(wèn)題．前一個(gè)問(wèn)題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價(jià)值．后一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作了鋪墊． 本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想(指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)冪)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值． 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持． 三維目標(biāo) 1．通過(guò)與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì)．掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象類比的能力． 2．掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想．通過(guò)運(yùn)算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理． 3．能熟練地運(yùn)用有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算能力． 4．通過(guò)訓(xùn)練及點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生更能熟練掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．展示函數(shù)圖象，讓學(xué)生通過(guò)觀察，進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和統(tǒng)一美． 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn) (1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式概念的理解． (2)掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)． (3)運(yùn)用有理指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值． 教學(xué)難點(diǎn) (1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式概念的理解． (2)有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用． 課時(shí)安排 3課時(shí) 第1課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1．同學(xué)們?cè)陬A(yù)習(xí)的過(guò)程中能否知道考古學(xué)家如何判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化，又怎樣判斷它們所處的年代？(考古學(xué)家是通過(guò)對(duì)生物化石的研究來(lái)判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的，第二個(gè)問(wèn)題我們不太清楚)考古學(xué)家是按照這樣一條規(guī)律推測(cè)生物所處的年代的．教師板書本節(jié)課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算． 思路2．同學(xué)們，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了平方根、立方根，那么有沒(méi)有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算． 推進(jìn)新課 (1)什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢？ (2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a，根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢？ (3)根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎？ (4)可否用一個(gè)式子表達(dá)呢？ 活動(dòng)：教師提示，引導(dǎo)學(xué)生回憶初中的時(shí)候已經(jīng)學(xué)過(guò)的平方根、立方根是如何定義的，對(duì)照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對(duì)問(wèn)題(2)的結(jié)論進(jìn)行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時(shí)啟發(fā)學(xué)生，具體問(wèn)題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評(píng)價(jià)學(xué)生的思維． 討論結(jié)果：(1)若x2＝a，則x叫做a的平方根，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為2，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，同理，若x3＝a，則x叫做a的立方根，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，如：－8的立方根為－2. (2)類比平方根、立方根的定義，一個(gè)數(shù)的四次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的四次方根．一個(gè)數(shù)的五次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的五次方根．一個(gè)數(shù)的六次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的六次方根． (3)類比(2)得到一個(gè)數(shù)的n次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的n次方根． (4)用一個(gè)式子表達(dá)是，若xn＝a，則x叫a的n次方根． 教師板書n次方根的意義： 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1且n∈N*. 可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例． (1)你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎？(多媒體顯示以下題目). ①4的平方根；②8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根. (2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對(duì)應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點(diǎn)？4，8，16，－32，32，0，a6分別對(duì)應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù)，有什么特點(diǎn)？ (3)問(wèn)題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負(fù)，還有零，結(jié)論有一個(gè)的，也有兩個(gè)的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢？ (4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根是否存在呢？ 活動(dòng)：教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念，求一個(gè)數(shù)a的n次方根，就是求出的那個(gè)數(shù)的n次方等于a，及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫出來(lái)，觀察數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)問(wèn)題(2)中的結(jié)論，類比推廣引申，考慮要全面，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路． 討論結(jié)果：(1)因?yàn)?的平方等于4，2的立方等于8，2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是2，2，2,2，－2,0，a2. (2)方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點(diǎn)是有奇數(shù)和偶數(shù)．總的來(lái)看，這些數(shù)包括正數(shù)，負(fù)數(shù)和零． (3)一個(gè)數(shù)a的奇次方根只有一個(gè)，一個(gè)正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù).0的任何次方根都是0. (4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負(fù)數(shù)的偶次方根就不存在，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)數(shù)的偶次方是一個(gè)負(fù)數(shù)． 類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)： ①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用－表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成(a＞0)． ②n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)表示． ③負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是零． 上面的文字語(yǔ)言可用下面的式子表示： a為正數(shù)： a為負(fù)數(shù)： 零的n次方根為零，記為＝0. 可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例． 思考 根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說(shuō)明上述幾種情況？ 活動(dòng)：教師提示學(xué)生對(duì)方根的性質(zhì)要分類掌握，即正數(shù)的奇偶次方根，負(fù)數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時(shí)巡視學(xué)生，隨機(jī)給出一個(gè)數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時(shí)糾正學(xué)生在舉例過(guò)程中的問(wèn)題． 解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根為2，－27的5次方根為，而－27的4次方根不存在等．其中也表示方根，它類似于的形式，現(xiàn)在我們給式子一個(gè)名稱——根式． 根式的概念： 式子叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)． 如中，3叫根指數(shù)，－27叫被開方數(shù)． 思考 表示an的n次方根，式子＝a一定成立嗎？如果不一定成立，那么等于什么？ 活動(dòng)：教師讓學(xué)生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號(hào)，充分讓學(xué)生多舉實(shí)例，分組討論．教師點(diǎn)撥，注意歸納整理． 〔如＝＝－3，＝|－8|＝8〕． 解答：根據(jù)n次方根的意義，可得：()n＝a. 通過(guò)探究得到：n為奇數(shù)，＝a. n為偶數(shù)，＝|a|＝ 因此我們得到n次方根的運(yùn)算性質(zhì)： ①()n＝a.先開方，再乘方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù)． ②n為奇數(shù)，＝a.先奇次乘方，再開方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù)． n為偶數(shù)，＝|a|＝先偶次乘方，再開方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù)的絕對(duì)值． 思路1 例求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)(a＞b)． 活動(dòng)：求某些式子的值，首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識(shí)，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對(duì)每一個(gè)題目仔細(xì)分析．觀察學(xué)生的解題情況，讓學(xué)生展示結(jié)果，抓住學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題并對(duì)癥下藥．求下列各式的值實(shí)際上是求數(shù)的方根，可按方根的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解，首先要搞清楚運(yùn)算順序，目的是把被開方數(shù)的符號(hào)定準(zhǔn)，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，無(wú)需考慮符號(hào)，如果是偶數(shù)，開方的結(jié)果必須是非負(fù)數(shù)． 解：(1)＝－8； (2)＝10； (3)＝π－3； (4)＝a－b(a＞b)． 點(diǎn)評(píng)：不注意n的奇偶性對(duì)式子的值的影響，是導(dǎo)致問(wèn)題出現(xiàn)的一個(gè)重要原因，要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)，記熟，會(huì)用，活用． 變式訓(xùn)練 求出下列各式的值： (1)； (2)(a≤1)； (3). 解：(1)＝－2， (2)(a≤1)＝3a－3， (3)＝ 點(diǎn)評(píng)：本題易錯(cuò)的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯(cuò)解. 思路2 例1下列各式中正確的是(　　) A．＝a B．＝ C．a(chǎn)0＝1 D．＝ 活動(dòng)：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)，應(yīng)首先考慮根據(jù)方根的意義和運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解，既要考慮被開方數(shù)，又要考慮根指數(shù)，嚴(yán)格按求方根的步驟，體會(huì)方根運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，學(xué)生先思考哪些地方容易出錯(cuò)，再回答． 解析：(1)＝a，考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)先寫＝|a|，故A項(xiàng)錯(cuò)． (2)＝，本質(zhì)上與上題相同，是一個(gè)正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此，結(jié)論為＝，故B項(xiàng)錯(cuò)． (3)a0＝1是有條件的，即a≠0，故C項(xiàng)也錯(cuò)． (4)D項(xiàng)是一個(gè)正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此，故D項(xiàng)正確．所以答案選D. 答案：D 點(diǎn)評(píng)：本題由于考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算順序，有時(shí)極易選錯(cuò)，選四個(gè)答案的情況都會(huì)有，因此解題時(shí)千萬(wàn)要細(xì)心． 例2＋＝__________. 活動(dòng)：讓同學(xué)們積極思考，交流討論，本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無(wú)關(guān)，但仔細(xì)一想，我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是方根，這里是帶有雙重根號(hào)的式子，去掉一層根號(hào)，根據(jù)方根的運(yùn)算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵，因此將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式．正確分析題意是關(guān)鍵，教師提示，引導(dǎo)學(xué)生解題的思路． 解析：因?yàn)椋剑剑剑?， ＝＝＝－1， 所以＋＝2. 答案：2 點(diǎn)評(píng)：不難看出與形式上有些特點(diǎn)，即是對(duì)稱根式，是形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個(gè)完全平方式． 思考 上面的例2還有別的解法嗎？ 活動(dòng)：教師引導(dǎo)，去根號(hào)常常利用完全平方公式，有時(shí)平方差公式也可，同學(xué)們觀察兩個(gè)式子的特點(diǎn)，具有對(duì)稱性，再考慮并交流討論，一個(gè)是“＋”，一個(gè)是“－”，去掉一層根號(hào)后，相加正好抵消．同時(shí)借助平方差，又可去掉根號(hào)，因此把兩個(gè)式子的和看成一個(gè)整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法． 另解：利用整體思想，x＝＋， 兩邊平方，得x2＝3＋2＋3－2＋2()()＝6＋2＝6＋2＝8，所以x＝2. 點(diǎn)評(píng)：對(duì)雙重二次根式，特別是形式的式子，我們總能找到辦法將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式，問(wèn)題迎刃而解，另外對(duì)的式子，我們可以把它們看成一個(gè)整體利用完全平方公式和平方差公式去解． 變式訓(xùn)練 若＝a－1，求a的取值范圍． 解：因?yàn)椋絘－1，而＝＝|a－1|＝a－1， 即a－1≥0， 所以a≥1. 點(diǎn)評(píng)：利用方根的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去絕對(duì)值符號(hào)，是解題的關(guān)鍵. (教師用多媒體顯示在屏幕上) 1．以下說(shuō)法正確的是(　　) A．正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù) B．負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù) C．0的n次方根是零 D．a(chǎn)的n次方根用表示(以上n＞1且n∈N*) 答案：C 2．化簡(jiǎn)下列各式： (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 答案：(1)2；(2)；(3)x2；(4)|x|；(5)|x－y|. 3．計(jì)算＋＝__________. 解析：＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＋－ ＝2. 答案：2 問(wèn)題：＝a與()n＝a(n＞1，n∈N)哪一個(gè)是恒等式，為什么？請(qǐng)舉例說(shuō)明． 活動(dòng)：組織學(xué)生結(jié)合前面的例題及其解答，進(jìn)行分析討論，解決這一問(wèn)題要緊扣n次方根的定義． 通過(guò)歸納，得出問(wèn)題結(jié)果，對(duì)a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)討論一下．再對(duì)a是負(fù)數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)討論一下，就可得到相應(yīng)的結(jié)論． 解：(1)()n＝a(n＞1，n∈N)． 如果xn＝a(n＞1，且n∈N)有意義，則無(wú)論n是奇數(shù)或偶數(shù)，x＝一定是它的一個(gè)n次方根，所以()n＝a恒成立． 例如：()4＝3，()3＝－5. (2)＝ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a∈R，＝a恒成立． 例如：＝2，＝－2. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a∈R，an≥0，表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么＝a.例如＝3，＝0；如果a＜0，那么＝|a|＝－a，如＝＝3， 即()n＝a(n＞1，n∈N)是恒等式，＝a(n＞1，n∈N)是有條件的． 點(diǎn)評(píng)：實(shí)質(zhì)上是對(duì)n次方根的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算性質(zhì)的深刻理解． 學(xué)生仔細(xì)交流討論后，在筆記上寫出本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上． 1．如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.用式子表示，式子叫根式，其中a叫被開方數(shù)，n叫根指數(shù)． (1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用－表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫成(a＞0)． (2)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)表示． (3)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.0的任何次方根都是零． 2．掌握兩個(gè)公式：n為奇數(shù)時(shí)，()n＝a，n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝ 課本習(xí)題2.1A組　1. 補(bǔ)充作業(yè)： 1．化簡(jiǎn)下列各式： (1)；(2)；(3). 解：(1)＝＝＝； (2)＝－＝－； (3)＝＝. 2．若5＜a＜8，則式子－的值為__________． 解析：因?yàn)?＜a＜8，所以－＝a－5－8＋a＝2a－13. 答案：2a－13 3．＋＝__________. 解析：對(duì)雙重二次根式，我們覺(jué)得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式， 不難看出＝＝＋. 同理＝＝－. 所以＋＝2. 答案：2 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的概念時(shí)，要結(jié)合已學(xué)內(nèi)容，列舉具體實(shí)例，根式的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來(lái)進(jìn)行，每種情況又分a＞0，a＜0，a＝0三種情況，并結(jié)合具體例子講解，因此設(shè)計(jì)了大量的類比和練習(xí)題目，要靈活處理這些題目，幫助學(xué)生加以理解，所以需要用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學(xué)． 第2課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1．碳14測(cè)年法．原來(lái)宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收，再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著，它們就會(huì)不斷地吸收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平．而當(dāng)有機(jī)體死亡后，即會(huì)停止吸收碳14，其組織內(nèi)的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失．對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測(cè)定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代(半衰期：經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，變?yōu)樵瓉?lái)的一半)．引出本節(jié)課題：指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪． 思路2．同學(xué)們，我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的．這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪． 推進(jìn)新課 (1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么？ (2)觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a＞0， ①； ②＝＝a4＝，； ③＝＝a3＝； ④＝＝a5＝. (3)利用(2)的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？ ，，，(x>0，m，n∈N*，且n>1). (4)你能用方根的意義來(lái)解釋(3)的式子嗎？ (5)你能推廣到一般的情形嗎？ 活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì)，仔細(xì)觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對(duì)寫正確的同學(xué)及時(shí)表?yè)P(yáng)，其他學(xué)生鼓勵(lì)提示． 討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：an＝aaa…a，a0＝1(a≠0)；00無(wú)意義； a－n＝(a≠0)；aman＝am＋n；(am)n＝amn；(an)m＝amn；(ab)n＝anbn. (2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．實(shí)質(zhì)上①＝，②＝，③＝，④＝結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了，，，，形式上變了，本質(zhì)沒(méi)變． 根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式)． (3)利用(2)的規(guī)律，＝，＝，＝，＝. (4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是. 結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的． (5)如果a＞0，那么am的n次方根可表示為＝，即＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． 綜上所述，我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教師板書： 規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (1)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的？ (2)你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎？ (3)你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義？ (4)綜合上述，如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義？ (5)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a＞0，去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果？ (6)既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢？ 活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義來(lái)類比，把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義融合起來(lái)，與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，教師在黑板上板書，學(xué)生合作交流，以具體的實(shí)例說(shuō)明a＞0的必要性，教師及時(shí)作出評(píng)價(jià)． 討論結(jié)果：(1)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a－n＝(a≠0)，n∈N*. (2)既然負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義． 規(guī)定：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)規(guī)定：零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義． (4)教師板書分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是： 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義． (5)若沒(méi)有a＞0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢？ 如＝＝－1，＝＝1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說(shuō)明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時(shí)是無(wú)意義的．因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，切記要使底數(shù)大于零，如無(wú)a＞0的條件，比如式子＝，同時(shí)負(fù)數(shù)開奇次方是有意義的，負(fù)數(shù)開奇次方時(shí)，應(yīng)把負(fù)號(hào)移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也就是說(shuō)，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上． (6)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)． 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)： ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)， ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)， ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問(wèn)題，來(lái)看下面的例題． 例1求值：(1)；(2)；(3)－5；(4). 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法，利用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出數(shù)值或化成最簡(jiǎn)根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，寫成2－1，寫成4，利用有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來(lái)． 解：(1)＝22＝4； (2)＝5－1＝； (3)－5＝(2－1)－5＝2－1(－5)＝32； (4)＝－3＝. 點(diǎn)評(píng)：本例主要考查冪值運(yùn)算，要按規(guī)定來(lái)解．在進(jìn)行冪值運(yùn)算時(shí)，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算，如＝＝＝4. 例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式． a3；a2；(a＞0)． 活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，要由里往外依次進(jìn)行，把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序，學(xué)生討論交流自己的解題步驟，教師評(píng)價(jià)學(xué)生的解題情況，鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié)． 解：a3＝a3＝； a2＝a2＝； ＝. 點(diǎn)評(píng)：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算．對(duì)于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示，沒(méi)有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式來(lái)表示，但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)． 例3計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))． (1)； (2). 活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來(lái)，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算，可以用單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算順序進(jìn)行，要注意符號(hào)，第(2)小題是乘方運(yùn)算，可先按積的乘方計(jì)算，再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算，熟悉后可以簡(jiǎn)化步驟． 解：(1)原式＝[2(－6)(－3)]＝4ab0＝4a； (2)＝m2n－3＝. 點(diǎn)評(píng)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法．有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，就可把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算了． 本例主要是指數(shù)冪的運(yùn)算法則的綜合考查和應(yīng)用． 變式訓(xùn)練 求值：(1)3； (2). 解：(1)3＝＝32＝9； (2)＝＝＝m2n－4. 例4計(jì)算下列各式： (1)(－)； (2)(a＞0)． 活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征，然后分析，化為同底．利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計(jì)算，但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算，這樣就簡(jiǎn)便多了，第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算，最后寫出解答． 解：(1)原式＝ ＝＝－5； (2)＝＝. 課本本節(jié)練習(xí)　1,2,3. 【補(bǔ)充練習(xí)】 教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答，教師巡視，啟發(fā)，對(duì)做得好的同學(xué)給予表?yè)P(yáng)鼓勵(lì)． 1．(1)下列運(yùn)算中，正確的是(　　) A．a(chǎn)2a3＝a6B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－1)0＝0 D．(－a2)3＝－a6 (2)下列各式①，②，③，④(各式的n∈N，a∈R)中，有意義的是(　　) A．①② B．①③ C．①②③④ D．①③④ (3)()2()2等于(　　) A．a(chǎn) B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)4 (4)把根式－2改寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為(　　) A．B． C． D． (5)化簡(jiǎn)的結(jié)果是(　　) A．6a B．－a C．－9a D．9a 2．計(jì)算：(1)－－2＋－3－1＋(－1)0＝__________. (2)設(shè)5x＝4,5y＝2，則52x－y＝__________. 3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值． 答案：1．(1)D　(2)B　(3)B　(4)A　(5)C　2．(1)19　(2)8 3．解：. 因?yàn)閤＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝427. 又因?yàn)閤＜y，所以x－y＝－23＝－6. 所以原式＝＝＝－. 1．化簡(jiǎn)：. 活動(dòng)：學(xué)生觀察式子特點(diǎn)，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路，應(yīng)對(duì)原式進(jìn)行因式分解，根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到： x－1＝－13＝； x＋1＝＋13＝； ． 構(gòu)建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示． 解： ＝ ＝ ＝ ＝. 點(diǎn)撥：解這類題目，要注意運(yùn)用以下公式， ＝a－b， ＝a＋b， ＝ab. 2．已知，探究下列各式的值的求法． (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3). 解：(1)將，兩邊平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7； (2)將a＋a－1＝7兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47； (3)由于， 所以有＝a＋a－1＋1＝8. 點(diǎn)撥：對(duì)“條件求值”問(wèn)題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值． 活動(dòng)：教師，本節(jié)課同學(xué)們有哪些收獲？請(qǐng)把你的學(xué)習(xí)收獲記錄在你的筆記本上，同學(xué)們之間相互交流．同時(shí)教師用投影儀顯示本堂課的知識(shí)要點(diǎn)： (1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義． (2)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)． (3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)： ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)， ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)， ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． (4)說(shuō)明兩點(diǎn)： ①分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒(méi)有推出關(guān)系． ②整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用．因而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用＝am來(lái)計(jì)算． 課本習(xí)題2.1A組　2,4. 本節(jié)課是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用，分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，要讓學(xué)生反復(fù)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中可以通過(guò)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化來(lái)鞏固加深對(duì)這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒(méi)有合理的解釋，因此多安排一些練習(xí)，強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固知識(shí)，要輔助以信息技術(shù)的手段來(lái)完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù)． 第3課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1．同學(xué)們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒(méi)有無(wú)理數(shù)指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分?jǐn)?shù)(有理數(shù))，有理數(shù)到實(shí)數(shù)．并且知道，在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中，增添的數(shù)是無(wú)理數(shù)．對(duì)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴(kuò)充而來(lái)．既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書本堂課的課題〔指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)〕之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪． 思路2．同學(xué)們，在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí)，對(duì)函數(shù)有了一個(gè)初步的了解，到了高中，我們又對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡(jiǎn)單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的需要，隨著科學(xué)的發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，我們必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí)：指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，教師板書本節(jié)課的課題． 推進(jìn)新課 (1)我們知道＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是的什么近似值？ (2)多媒體顯示以下圖表：同學(xué)們從上面的兩個(gè)表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？ 的過(guò)剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 的近似值 的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … (3)你能給上述思想起個(gè)名字嗎？ (4)一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢？如，根據(jù)你學(xué)過(guò)的知識(shí)，能作出判斷并合理地解釋嗎？ (5)借助上面的結(jié)論你能說(shuō)出一般性的結(jié)論嗎？ 活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問(wèn)，學(xué)生回答，積極交流，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生，學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容： 問(wèn)題(1)從近似值的分類來(lái)考慮，一方面從大于的方向，另一方面從小于的方向． 問(wèn)題(2)對(duì)圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)． 問(wèn)題(3)上述方法實(shí)際上是無(wú)限接近，最后是逼近． 問(wèn)題(4)對(duì)問(wèn)題給予大膽猜測(cè)，從數(shù)軸的觀點(diǎn)加以解釋． 問(wèn)題(5)在(3)(4)的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般． 討論結(jié)果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數(shù)都小于，稱的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數(shù)都大于，稱的過(guò)剩近似值． (2)第一個(gè)表：從大于的方向逼近時(shí)，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近. 第二個(gè)表：從小于的方向逼近時(shí)，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近. 從另一角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn)，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以說(shuō)從兩個(gè)方向無(wú)限地接近，即逼近，所以是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示的點(diǎn)靠近，但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是一定是一個(gè)實(shí)數(shù)，即51.4＜51.41＜51.414＜51.414 2＜51.414 21＜…＜＜…＜51.414 22＜51.414 3＜51.415＜51.42＜51.5. 充分表明是一個(gè)實(shí)數(shù)． (3)逼近思想，事實(shí)上里面含有極限的思想，這是以后要學(xué)的知識(shí)． (4)根據(jù)(2)(3)我們可以推斷是一個(gè)實(shí)數(shù)，猜測(cè)一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪是一個(gè)實(shí)數(shù)． (5)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義： 一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)． 也就是說(shuō)無(wú)理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中，我們知道有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．我們規(guī)定了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪． (1)為什么在規(guī)定無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義時(shí)，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？ (2)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則相通呢？ (3)你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則嗎？ 活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說(shuō)明問(wèn)題，注意類比，歸納． 對(duì)問(wèn)題(1)回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義時(shí)對(duì)底數(shù)的規(guī)定，舉例說(shuō)明． 對(duì)問(wèn)題(2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，既然無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，那么無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則類似，并且相通． 對(duì)問(wèn)題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則自然就得到了． 討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a＝－1，那么aα是＋1還是－1就無(wú)法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，就不會(huì)再造成混亂． (2)因?yàn)闊o(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算，也能進(jìn)行冪的運(yùn)算，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，同樣也適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．類比有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則： ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s都是無(wú)理數(shù))． ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s都是無(wú)理數(shù))． ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r是無(wú)理數(shù))． (3)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪． 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： 對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)： ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)． ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 例1利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算．(精確到0.001) (1)0.32.1；(2)3.14－3；(3)；(4). 活動(dòng)：教師教會(huì)學(xué)生利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算，熟悉計(jì)算器的各鍵的功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對(duì)于(1)，可先按底數(shù)0.3，再按鍵，再按冪指數(shù)2.1，最后按，即可求得它的值； 對(duì)于(2)，先按底數(shù)3.14，再按鍵，再按負(fù)號(hào)鍵，再按3，最后按即可； 對(duì)于(3)，先按底數(shù)3.1，再按鍵，再按34，最后按即可； 對(duì)于(4)，這種無(wú)理指數(shù)冪，可先按底數(shù)3，其次按鍵，再按鍵，再按3，最后按鍵．有時(shí)也可按或鍵，使用鍵上面的功能去運(yùn)算． 學(xué)生可以相互交流，挖掘計(jì)算器的用途． 解：(1)0.32.1≈0.080；(2)3.14－3≈0.032；(3)≈2.336；(4)≈6.705. 點(diǎn)評(píng)：熟練掌握用計(jì)算器計(jì)算冪的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會(huì)；用四舍五入法求近似值，若保留小數(shù)點(diǎn)后n位，只需看第(n＋1)位能否進(jìn)位即可． 例2求值或化簡(jiǎn)． (1)(a＞0，b＞0)； (2)(a＞0，b＞0)； (3)＋－. 活動(dòng)：學(xué)生觀察，思考，所謂化簡(jiǎn)，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達(dá)到最簡(jiǎn)，對(duì)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于運(yùn)算，教師有針對(duì)性地提示引導(dǎo)，對(duì)(1)由里向外把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)(2)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)當(dāng)統(tǒng)一起來(lái)，化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，對(duì)(3)有多重根號(hào)的式子，應(yīng)先去根號(hào)，這里是二次根式，被開方數(shù)應(yīng)湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成()2＋()2,22＋()2,22＋()2，并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià)，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律． 解：(1)＝＝ . 點(diǎn)評(píng)：根式的運(yùn)算常常化成冪的運(yùn)算進(jìn)行，計(jì)算結(jié)果如沒(méi)有特殊要求，就用根式的形式來(lái)表示． (2) ＝ ＝a0b0＝. 點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負(fù)指數(shù)冪的定義把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù)，另一個(gè)方法是采用分式的基本性質(zhì)把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù)． (3)＋－ ＝＋－ ＝－＋2－－2＋＝0. 點(diǎn)評(píng)：考慮根號(hào)里面的數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，千萬(wàn)注意方根的性質(zhì)的運(yùn)用． 例3已知，n∈N*，求(x＋)n的值． 活動(dòng)：學(xué)生思考，觀察題目的特點(diǎn)，從整體上看，應(yīng)先化簡(jiǎn)，然后再求值，要有預(yù)見(jiàn)性，與具有對(duì)稱性，它們的積是常數(shù)1，為我們解題提供了思路，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的思路，必要時(shí)給予提示． ＝. 這時(shí)應(yīng)看到1＋x2＝， 這樣先算出1＋x2，再算出，代入即可． 解：將代入1＋x2，得1＋x2＝， 所以(x＋)n＝ ＝ ＝＝5. 點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法． 課本習(xí)題2.1A組　3. 利用投影儀投射下列補(bǔ)充練習(xí)： 1．化簡(jiǎn)：的結(jié)果是(　　) A． B． C．D． 解析：根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到它的整體性，特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危? 因?yàn)椋栽降姆肿臃帜竿艘裕? 依次類推，所以. 答案：A 2．計(jì)算0.5＋0.1－2＋－3π0＋9－0.5＋490.52－4. 解：原式＝ ＝＋100＋－3＋＋＝100. 3．計(jì)算＋(a≥1)． 解：原式＝＋＝＋1＋|－1|(a≥1)． 本題可以繼續(xù)向下做，去掉絕對(duì)值，作為思考留作課下練習(xí)． 4．設(shè)a＞0，，則(x＋)n的值為__________． 解析：1＋x2＝. 這樣先算出1＋x2，再算出， 將代入1＋x2，得1＋x2＝. 所以(x＋)n＝ ＝＝a. 答案：a 參照我們說(shuō)明無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義的過(guò)程，請(qǐng)你說(shuō)明無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義． 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義的過(guò)程，利用計(jì)算器計(jì)算出的近似值，取它的過(guò)剩近似值和不足近似值，根據(jù)這些近似值計(jì)算的過(guò)剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意義，學(xué)生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結(jié)果． 解：＝1.732 050 80…，取它的過(guò)剩近似值和不足近似值如下表． 的過(guò)剩近似值 的過(guò)剩近似值 的不足近似值 的不足近似值 1.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 585 1.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 183 1.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 342 1.732 1 3.322 110 36 1.731 9 3.321 649 849 1.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 2 1.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 923 1.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 838 1.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045 … … … … 我們把用2作底數(shù)，的不足近似值作指數(shù)的各個(gè)冪排成從小到大的一列數(shù) 21.7,21.72,21.731,21.731 9，…， 同樣把用2作底數(shù)，的過(guò)剩近似值作指數(shù)的各個(gè)冪排成從大到小的一列數(shù)： 21．8,21.74,21.733,21.732 1，…，不難看出的過(guò)剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多，即的近似值精確度越高，以其過(guò)剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2α?xí)絹?lái)越趨近于同一個(gè)數(shù)，我們把這個(gè)數(shù)記為， 即21.7＜21.73＜21.731＜21.731 9＜…＜＜…＜21.732 1＜21.733＜21.74＜21.8. 也就是說(shuō)是一個(gè)實(shí)數(shù)，＝3.321 997 …也可以這樣解釋： 當(dāng)?shù)倪^(guò)剩近似值從大于的方向逼近時(shí)，2的近似值從大于的方向逼近； 當(dāng)?shù)牟蛔憬浦祻男∮诘姆较虮平鼤r(shí)，2的近似值從小于的方向逼近. 所以就是一串有理指數(shù)冪21.7,21.73,21.731,21.731 9，…，和另一串有理指數(shù)冪21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述規(guī)律變化的結(jié)果，即≈3.321 997. (1)無(wú)理指數(shù)冪的意義． 一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a＞0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)． (2)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： 對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)： ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)． ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． (3)逼近的思想，體會(huì)無(wú)限接近的含義． 課本習(xí)題2.1 B組　2. 無(wú)理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，教學(xué)中要讓學(xué)生通過(guò)多媒體的演示，理解無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中也可以讓學(xué)生自己通過(guò)實(shí)際情況去探索，自己得出結(jié)論，加深對(duì)概念的理解，本堂課內(nèi)容較為抽象，又不能進(jìn)行推理，只能通過(guò)多媒體的教學(xué)手段，讓學(xué)生體會(huì)，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習(xí)，提高學(xué)生理解問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力．