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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)選修1-1教案：2-3-2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 2.3.2 雙曲線的幾何性質(zhì) （共 1 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 知識與技能：理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性質(zhì)，并能根據(jù)這些幾何性質(zhì)解決一些簡單問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納和推理等能力。 過程與方法：在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法。 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題． 教學(xué)重、 難點(diǎn) 重點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用． 難點(diǎn)：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證． 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 (一)復(fù)習(xí)提問引入新課 1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？ 2．雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)． (二)類比聯(lián)想得出性質(zhì)(性質(zhì)1～3) 引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格(讓學(xué)生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)、訂正并板書)． (三)問題之中導(dǎo)出漸近線(性質(zhì)4) 在學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計(jì) 仍以原點(diǎn)為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形(板書圖形)，那么雙曲線和這個(gè)矩形有什么關(guān)系？這個(gè)矩形對于估計(jì)和畫出雙曲線簡圖(圖2-26)有什么指導(dǎo)意義？這些問題不要求學(xué)生回答，只引起學(xué)生類比聯(lián)想． 接著再提出問題：當(dāng)a、b為已知時(shí)，這個(gè)矩形的兩條對角線的方程是什么？ 下面，我們來證明它： 雙曲線在第一象限的部分可寫成： 當(dāng)x逐漸增大時(shí)，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON． 在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況． 現(xiàn)在來看看實(shí)軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程是由焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字母對調(diào) 這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精 再描幾個(gè)點(diǎn)，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線． (四)離心率(性質(zhì)5) 由于正確認(rèn)識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響： 變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊． 這時(shí)，教師指出：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變． (五)典型例題剖析： 1．求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程． 由此可知，實(shí)半軸長a=4，虛半軸長b=3． 焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-5)，(0，5)． 板書設(shè)計(jì) 2.3.2 雙曲線的幾何性質(zhì) 1．范圍、對稱性 2．頂點(diǎn) 頂點(diǎn)： 特殊點(diǎn)： 實(shí)軸：長為2a, a叫做半實(shí)軸長 虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長 3．漸近線 漸近線方程是（ 4．等軸雙曲線 5．離心率 ， 范圍：。e越大它的開口就越闊 教學(xué)反思 1.讓學(xué)生討論，由圖形和方程研究雙曲線有哪幾種對稱性？ 2.由離心率的定義如何說明離心率和雙曲線開口大小的關(guān)系，并給出結(jié)論。 3.用幾何畫板展示雙曲線的漸近線，使學(xué)生有直觀的認(rèn)識。