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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：3-2-1 直線的點斜式方程 項目 內(nèi)容 課題 3.2.1 直線的點斜式方程 （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標 1.掌握由一點和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線的點斜式方程，了解直線方程的斜截式是點斜式的特例；培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性和相互合作意識，注意學(xué)生語言表述能力的訓(xùn)練. 2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件，并會利用探討出的條件求出直線的方程.培養(yǎng)學(xué)生形成嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神. 3.掌握直線方程的點斜式的特征及適用范圍,培養(yǎng)和提高學(xué)生聯(lián)系、對應(yīng)、轉(zhuǎn)化等辯證思維能力. 教學(xué)重、 難點 教學(xué)重點:引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件，并會利用探討出的條件求出直線的方程. 教學(xué)難點:在理解的基礎(chǔ)上掌握直線方程的點斜式的特征及適用范圍. 教學(xué) 準備 多媒體課件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)，并接觸過一次函數(shù)的圖象，現(xiàn)在，請同學(xué)們作一下回顧： 一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，它是以滿足y=kx+b的每一對x、y的值為坐標的點構(gòu)成的.由于函數(shù)式y(tǒng)=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我們可以說，這個方程的解和直線上的點也存在這樣的對應(yīng)關(guān)系.這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)直線的方程(宣布課題). 提出問題 ①如果把直線當做結(jié)論，那么確定一條直線需要幾個條件？如何根據(jù)所給條件求出直線的方程？ ②已知直線l的斜率k且l經(jīng)過點P1(x1,y1)，如何求直線l的方程? ③方程導(dǎo)出的條件是什么？ ④若直線的斜率k不存在，則直線方程怎樣表示？ ⑤k=與y-y1=k(x-x1)表示同一直線嗎？ ⑥已知直線l的斜率k且l經(jīng)過點（０，ｂ），如何求直線l的方程？ 討論結(jié)果:①確定一條直線需要兩個條件: a.確定一條直線只需知道k、b即可； b.確定一條直線只需知道直線l上兩個不同的已知點. ②設(shè)P(x，y)為l上任意一點，由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式,得k=,化簡,得y－y1=k(x－x1). ③方程導(dǎo)出的條件是直線l的斜率k存在. ④a.x=0；b.x=x1. ⑤啟發(fā)學(xué)生回答:方程k=表示的直線l缺少一個點P1(x1,y1),而方程y－y1=k(x－x1)表示的直線l才是整條直線. ⑥y=kx+b. 應(yīng)用示例 例1 一條直線經(jīng)過點P1(-2,3),傾斜角α=45,求這條直線方程,并畫出圖形. 圖1 解:這條直線經(jīng)過點P1(-2,3),斜率是k=tan45=1.代入點斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0, 這就是所求的直線方程,圖形如圖1所示. 點評:此例是點斜式方程的直接運用,要求學(xué)生熟練掌握,并具備一定的作圖能力. 變式訓(xùn)練 求直線y=-(x-2)繞點(2,0)按順時針方向旋轉(zhuǎn)30所得的直線方程. 解：設(shè)直線y=-(x-2)的傾斜角為α，則tanα=-， 又∵α∈［0,180)， ∴α=120. ∴所求的直線的傾斜角為120-30=90.∴直線方程為x=2. 例2 如果設(shè)兩條直線l1和l2的方程分別是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，試討論: （1）當l1∥l2時，兩條直線在y軸上的截距明顯不同，但哪些量是相等的？為什么？ （2）l1⊥l2的條件是什么？ 活動:學(xué)生思考：如果α1=α2，則tanα1=tanα2一定成立嗎？何時不成立？由此可知：如果l1∥l2，當其中一條直線的斜率不存在時，則另一條直線的斜率必定不存在.反之，問：如果b1≠b2且k1=k2，則l1與l2的位置關(guān)系是怎樣的？由學(xué)生回答，重點說明α1=α2得出tanα1=tanα2的依據(jù). 解:（1）當直線l1與l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2時，直線l1∥l2k1=k2且b1≠b2. (2)l1⊥l2k1k2=-1. 變式訓(xùn)練 判斷下列直線的位置關(guān)系: (1)l1:y=x+3,l2:y=x-2; (2)l1:y=x,l2:y=-x. 答案：(1)平行；(2)垂直. 例3 已知直線l1：y=4x和點P(6，4)，過點P引一直線l與l1交于點Q，與x軸正半軸交于點R，當△OQR的面積最小時，求直線l的方程. 活動:因為直線l過定點P(6，4)，所以只要求出點Q的坐標，就能由直線方程的兩點式寫出直線l的方程. 解：因為過點P(6，4)的直線方程為x=6和y－4=k(x－6), 當l的方程為x=6時，△OQR的面積為S=72； 當l的方程為y－4=k(x－6)時，有R(,0)，Q（,)， 此時△OQR的面積為S==. 變形為(S－72)k2＋(96－4S)k－32=0(S≠72). 因為上述方程根的判別式Δ≥0，所以得S≥40. 當且僅當k=－1時，S有最小值40. 因此，直線l的方程為y－4=－(x－6)，即x＋y－10=0. 點評：本例是一道有關(guān)函數(shù)最值的綜合題.如何恰當選取自變量，建立面積函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.怎樣求這個面積函數(shù)的最值，學(xué)生可能有困難，教師宜根據(jù)學(xué)生的實際情況進行啟發(fā)和指導(dǎo). 變式訓(xùn)練 如圖2，要在土地ABCDE上劃出一塊長方形地面（不改變方向），問如何設(shè)計才能使占地面積最大？并求出最大面積（精確到1 m2）（單位：m）. 圖2 解：建立如圖直角坐標系，在線段AB上任取一點P分別向CD、DE作垂線，劃得一矩形土地. ∵AB方程為=1,則設(shè)P(x,20-)(0≤x≤30), 則S矩形=(100-x)［80-(20-)］ =-(x-5)2+6 000+(0≤x≤30), 當x=5時，y=，即P（5，）時，(S矩形)max=6 017(m2). 例2 設(shè)△ABC的頂點A(1，3)，邊AB、AC上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1=0，y=1，求△ABC中AB、AC各邊所在直線的方程. 活動:為了搞清△ABC中各有關(guān)元素的位置狀況，我們首先根據(jù)已知條件，畫出簡圖3,幫助思考問題. 解:如圖3,設(shè)AC的中點為F，AC邊上的中線BF：y=1. 圖3 AB邊的中點為E，AB邊上中線 CE：x－2y＋1=0. 設(shè)C點坐標為(m，n),則F(). 又F在AC中線上,則=1, ∴n=-1. 又C點在中線CE上，應(yīng)當滿足CE的方程，則m－2n＋1=0. ∴m=－3.∴C點為(－3，－1). 設(shè)B點為(a,1),則AB中點E(),即E(,2). 又E在AB中線上,則-4+1=0.∴a=5. ∴B點為(5，1). 由兩點式,得到AB，AC所在直線的方程AC：x－y＋2=0,AB：x＋2y－7=0. 點評：此題思路較為復(fù)雜，應(yīng)使同學(xué)們做完后從中領(lǐng)悟到兩點： (1)中點分式要靈活應(yīng)用； (2)如果一個點在直線上，則這點的坐標滿足這條直線的方程，這一觀念必須牢牢地樹立起來. 課堂小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家： 1.掌握由一點和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線的點斜式方程，了解直線方程的斜截式是點斜式的特例. 2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件，并會利用探討出的條件求出直線的方程. 作業(yè) 習(xí)題3.2 A組2、3、5. 板書設(shè)計 教學(xué)反思