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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文 (E) 一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則|z|＝（　?。? A． B． C．3 D．4 2．下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（　　） A．（x﹣1）′＝ B．（2x）′＝x2x﹣1 C．（cosx）′＝sinx D．（lnx+x）′＝1 3．用反證法證明“a，b，c三個實數(shù)中最多只有一個是正數(shù)”，下列假設(shè)中正確的是（　　） A．有兩個數(shù)是正數(shù) B．這三個數(shù)都是正數(shù) C．至少有兩個數(shù)是負(fù)數(shù) D．至少有兩個數(shù)是正數(shù) 4．下列推理是歸納推理的是（　?。? A．A，B為定點，動點P滿足|PA|+|PB|＝2a＞|AB|，得P的軌跡為橢圓 B．由a1＝a，an＝3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達(dá)式 C．由圓x2+y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓的面積S＝πab D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 5．下列關(guān)于回歸分析的說法中錯誤的有（　?。﹤€ （1）殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預(yù)報精確度越高． （2）回歸直線一定過樣本中心（，）． （3）兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好． （4）甲、乙兩個模型的R2分別約為0.88和0.80，則模型乙的擬合效果更好． A．4 B．3 C．2 D．1 6．《周髀算經(jīng)》是我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作．其中一個問題的大意為：一年有二十四個節(jié)氣（如圖），每個節(jié)氣晷長損益相同（即物體在太陽的照射下影子長度的增加量和減少量相同）．若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），則立冬節(jié)氣的晷長為（　?。? A．九尺五寸 B．一丈五寸 C．一丈一尺五寸 D．一丈六尺五寸 7．利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中性別與愛好某項運動是否有關(guān)，通過隨機調(diào)查200名高中生是否愛好某項運動，利用22列聯(lián)表，由計算可得K2≈7.245，參照下表：得到的正確結(jié)論是（　　） P（K2≥k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)” C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)” D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)” 8．在下面的圖示中，是結(jié)構(gòu)圖的為（　?。? A． B． C． D． 9．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣5x+2lnx，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（　　） A． B． （0，1）和（2，+∞） C．（，2） D． 和（2，+∞） 10．已知函數(shù)f（x）＝sinx+cosx，若f1（x）＝f′（x），fn+1（x）＝f′n（x）（n∈N+），則fxx（）＝（　　） A． B． C． D．﹣ 11．在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色．先染1；再染3個偶數(shù)2，4，6；再染6后面最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個連續(xù)偶數(shù)16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個連續(xù)奇數(shù)29，31，…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第xx個數(shù)是（　?。? A．3972 B．3974 C．3991 D．3993 12．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（﹣∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，則不等式（x+xx）2f（x+xx）﹣4f（﹣2）＜0的解集為（　　） A．（﹣xx，﹣xx） B．（﹣xx，﹣xx） C．（﹣2021，﹣xx） D．（﹣xx，﹣xx） 二.填空題:本大題共5小題，每小題5分，共20分. 13．曲線在點處的切線方程為　 ?。? 14．已知三個月球探測器α，β，γ共發(fā)回三張月球照片A，B，C，每個探測器僅發(fā)回一張照片． 甲說：照片A是α發(fā)回的；乙說：β發(fā)回的照片不是A就是B；丙說：照片C不是γ發(fā)回的． 若甲、乙、丙三人中有且僅有一人說法正確，則照片B是探測器　 　發(fā)回的． 15．在等比數(shù)列{an}中，若a9＝1，則有等式a1a2…an＝a1a2…a17﹣n，（n＜17，n∈N*）成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的在等差數(shù)列{bn}中，若b9＝0，則有等式　 　成立． 16.若函數(shù)f(x)＝3x－x3在區(qū)間(a2－12，a)上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是 三.解答題:本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17．（本題滿分10分）已知復(fù)數(shù)z＝，（m∈R，i是虛數(shù)單位） （1）若z是純虛數(shù)，求m的值； （2）設(shè)是z的共軛復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，求m的取值范圍． 18．（本題滿分12分）已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）． （1）若函數(shù)f（x）在x＝1處有極值10，求f（x）的解析式； （2）當(dāng)a＝﹣2時，若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求b的取值范圍． 19．（本題滿分12分）某幼兒園雛鷹班的生活老師統(tǒng)計xx上半年每個月的20日的晝夜溫差（xC，x≥3）和患感冒的小朋友人數(shù)（y/人）的數(shù)據(jù)如下： 溫差xC x1 x2 x3 x4 x5 x6 患感冒人數(shù)y 8 11 14 20 23 26 其中，，， （Ⅰ）請用相關(guān)系數(shù)加以說明是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系； （Ⅱ）建立y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.01），預(yù)測當(dāng)晝夜溫差升高4C時患感冒的小朋友的人數(shù)會有什么變化？（人數(shù)精確到整數(shù)） 參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)：，回歸直線方程是， 20．（本題滿分12分）下面圖形都是由小正三角形構(gòu)成的，設(shè)第個圖形中的黑點總數(shù)為f（n）． （1）求f（2），f（3），f（4），f（5）出的值； （2）找出f（n）與f（n+1）的關(guān)系，并求出f（n）的表達(dá)式． 21．（本題滿分12分）已知a∈R，f（x）＝2x﹣alnx． （Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性； （Ⅱ）當(dāng)x≥1時，xf（x）≥x2+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 選作題：共12分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（12分） 已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2a（a＞0）． （1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程； （2）已知點P（0，4），直線l與曲線C交于M，N兩點，且|PM|?|PN|＝14，求a的值． 23.選修4-5：不等式選講（12分） 已知函數(shù)f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）． （Ⅰ）當(dāng)a＝時，解不等式f（x）＞6； （Ⅱ）若對任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范圍． 河南省實驗中學(xué)xx--xx下期期中試卷 高二文科數(shù)學(xué) 參考答案 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共計60分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D B C B B B C A D C 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分） 13. x﹣4y﹣4＝0． 14．α 15 16．（﹣1，2] 三、解答題 17．解：z＝＝． （1）若z是純虛數(shù)，則，即m＝2；------------------------5分 （2）， 由在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，得，即﹣2＜m＜2．---10分 18 （1）因為f（x）＝x3+ax2+bx+a2，所以f（x）＝3x2+2ax+b， 由已知條件，得即 解得 或--------------------------------------------------------4分 下面分別檢驗： ①當(dāng)a＝4，b＝﹣11時，f（x）＝x3+4x2﹣11x+16，f′（x）＝3x2+8x﹣11， 令f′（x）＝0，即 3x2+8x﹣11＝0，解得 ，x2＝1， 列表： x 1 （1，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 極小值10 增函數(shù) 由上表可知，f（x）在x＝1處取極小值10，符合題意． ②當(dāng)a＝﹣3，b＝3時，f（x）＝x3﹣3x2+3x+9，f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x2﹣2x+1）＝3（x﹣1）2≥0，f（x）為增函數(shù)，不合題意，舍去． 所以當(dāng)a＝4，b＝﹣11時，f（x）＝x3+4x2﹣11x+16為所求函數(shù)的解析式． 綜上所述，所求函數(shù)的解析式為f（x）＝x3+4x2﹣11x+16． -------------------6分 （2）當(dāng)a＝﹣2時，f（x）＝x3﹣2x2+bx+4，f（x）＝3x2﹣4x+b， 此導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，二次項系數(shù)大于0，且對稱軸為，----- -----8分 因為函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立， 也就是f（2）≥0， 即 322﹣42+b≥0，解得b≥﹣4， 所以，b的取值范圍是[﹣4，+∞）． ---------------------------------------------------12分 19．解：（Ⅰ）， （14﹣17）2+（20﹣17）2+（23﹣17）2+（26﹣17）2＝252． 故r＝． ∴可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；-------------------------------------------6分 （Ⅱ），， ， ∴y關(guān)于x的回歸方程為．----------------------------------10分 當(dāng)x＝4時，△y＝2.614≈10． 預(yù)測當(dāng)晝夜溫差升高4C時患感冒的小朋友的人數(shù)會增加10人．-------12分 20． 【解答】解：（1）由題意有f（1）＝3， f（2）＝f（1）+3+32＝12， f（3）＝f（2）+3+34＝27， f（4）＝f（3）+3+36＝48， f（5）＝f（4）+3+38＝75．…（6分） （2）由題意及（Ⅰ）知，f（n+1）＝f（n）+3+32n＝f（n）+6n+3， 即f（n+1）﹣f（n）＝6n+3，…（8分） 故f（2）﹣f（1）＝61+3， f（3）﹣f（2）＝62+3，f（4）﹣f（3）＝63+3， … f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1）+3，n≥2．…（10分） 將上面（n﹣1）個式子相加，得： ， 又f（1）＝3，所以f（n）＝3n2，n≥2， 而當(dāng)n＝1時，f（1）＝3也滿足上式， 故f（n）＝3n2，n∈N*．…（12分） 21．解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，+∞）， f′（x）＝2﹣＝（x﹣）， 當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增， 當(dāng)a＞0時，在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）遞減， 在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）遞增， 綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）遞增， a＞0時，f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；------------------6分 （Ⅱ）xf（x）≥x2+1恒成立，即xf（x）﹣（x2+1）≥0恒成立， 設(shè)g（x）＝xf（x）﹣（x2+1），則g（x）＝x2﹣axlnx﹣1， g′（x）＝2x﹣a（1+lnx），g′（x）的單調(diào)性和f（x）相同， 當(dāng)a≤0時，g′（x）在[1，+∞）遞增，g′（x）≥g′（1）＝2﹣a＞0，------8分 故g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）＝0， 當(dāng)a＞0時，g′（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，----------------------9分 當(dāng)0＜a≤2時，≤1，g′（x）在[1，+∞）遞增，-------------------------10分 g′（x）≥g′（1）＝2﹣a≥0， 故g（x）是增函數(shù)，故g（x）≥g（1）＝0， 當(dāng)a＞2時，在區(qū)間（1，）上，g′（x）遞減， 故g′（x）＜g′（1）＝2﹣a＜0， 故g（x）遞減，故g（x）＜g（1）＝0，不合題意， 綜上，a的范圍是（﹣∞，2]．------------------------------------------------------12分 22解：（1）由ρ＝2a兩邊平方得ρ2（a2sin2θ+4cos2θ）＝4a2， 又 ρsinθ＝y(tǒng)，ρcosθ＝x，∴a2y2+4x2＝4a2（a＞0）， 即曲線C的直角坐標(biāo)方程為：4x2+a2y2＝4a2．--------------------------------6分 （2）消去參數(shù)t得直線l的普通方程為：y＝x+4，易知P（0，4）在直線l上， 所以直線l的斜率為，傾斜角為60， 所以直線l的參攝方程可設(shè)為：（t為參數(shù)）， 將以上參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程并整理得：（1+a2）t2+4a2t+12a2＝0 設(shè)M，N兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1t2＝，----------------------------------------------------------11分 所以|PM||PN|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝＝14，解得：a＝．-----------12分 23．解：（Ⅰ）a＝時，|3x﹣1|+|2x﹣2|＞6， 故或或， 解得：x＞或x＜﹣， 故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；-------------------------------6分 （Ⅱ）若對任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立， 則|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立， 故x0≥a時，6x0＞2a+4恒成立， 故6a＞2a+4，解得：a＞2， x0＜a時，2a＞4，解得：a＞2， 綜上，a∈（2，+∞）．-------------------------------------------12分