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2019-2020年人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-2 2-3 數(shù)學(xué)歸納法 教案 一、教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)目標(biāo)： 使學(xué)生了解歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)．掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的命題． 2、能力目標(biāo)： 培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想．努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑的氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率；通過(guò)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用數(shù)學(xué)歸納法證明規(guī)律。 3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 通過(guò)對(duì)例題的探究，體會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神；通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)視野，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)意義。 二、教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn) 重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)條件極其內(nèi)涵； 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的精髓； 三、學(xué)情分析 在已經(jīng)學(xué)習(xí)了不完全歸納法的基礎(chǔ)上，介紹了數(shù)學(xué)歸納法，它是一種用于關(guān)于正整數(shù)命題的直接證法。教材通過(guò)剖析生活實(shí)例中蘊(yùn)含的思維過(guò)程揭示數(shù)學(xué)思想方法，即借助“多米諾骨牌”的設(shè)計(jì)思想，揭示數(shù)學(xué)歸納法依據(jù)的兩個(gè)條件及它們之間的關(guān)系。 四、教學(xué)方法 類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法 五、教學(xué)過(guò)程 一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維（說(shuō)明引入數(shù)學(xué)歸納法的必要性） （情景一）問(wèn)題1：口袋中有5個(gè)吃的東西，如何證明它們都是糖？ 問(wèn)題2:數(shù)列（1）求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？ （情境二）數(shù)學(xué)家費(fèi)馬運(yùn)用不完全歸納法得出費(fèi)馬猜想的事例。 【設(shè)計(jì)意圖：】以上兩個(gè)情境分別是完全歸納法和不完全歸納法的體現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)其結(jié)論正確性不同，而這里實(shí)際上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的歸納思想。歸納法分為“不完全歸納法（只驗(yàn)證幾個(gè)個(gè)體成立，得到一般性結(jié)論，但結(jié)論不一定正確）”和“完全歸納法（驗(yàn)證每個(gè)個(gè)體都成立，得到一般性結(jié)論，其結(jié)論一定正確）”。 二、搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)生興趣 1、展示多米諾骨牌的動(dòng)畫(huà)，探究多米諾骨牌如何才能全部倒下？ （由多米諾骨牌游戲的原理啟發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)方法，解決情境一的問(wèn)題2。） ① 第一塊骨牌必須要倒下②任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊倒下，則后一塊也倒下 相當(dāng)于能推倒第一塊骨牌 相當(dāng)于第塊骨牌能推倒第塊骨牌 2、類比“多米諾骨牌”的原理來(lái)驗(yàn)證問(wèn)題2中對(duì)于通項(xiàng)公式的猜想。 “多米諾骨牌”原理 ①第一塊骨牌倒下； ②若第k塊倒下，則使得第k+1塊倒下 驗(yàn)證猜想 ↓ ↓ ①驗(yàn)證猜想成立 ②如果時(shí)，猜想成立。即，則 當(dāng)時(shí)，即時(shí)猜想成立 三、師生合作，形成概念。 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，可以按照以下步驟進(jìn)行： （1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立； （2）（歸納遞推）假設(shè)時(shí)命題成立，證明當(dāng)命題也成立. 完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立。 上述這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。 四、講練結(jié)合，鞏固概念 （1.如果直接用等差數(shù)列求和公式證明，就沒(méi)有用到數(shù)學(xué)歸納法.2.在歸納奠基的基礎(chǔ)上形成遞推是數(shù)學(xué)歸納法精髓，即：必須用到假設(shè)來(lái)證明n=k+1的情況.） 知識(shí)應(yīng)用，深化理解 例：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊：，右邊：，左邊=右邊，等式成立。 （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立， 即 則當(dāng)時(shí)， 左邊右邊 即當(dāng)時(shí)，等式也成立。 由(1)，(2)得：對(duì)，等式成立 【方法技巧】證明中的幾個(gè)注意問(wèn)題： （1）在第一步中的初始值不一定從取起, 證明應(yīng)根據(jù)具體情況而定.（找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)） （2）在第二步中,證明命題成立時(shí),必須用到命題成立這一歸納假設(shè)，否則就打破數(shù)學(xué)歸納 法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系,造成推理無(wú)效. （用上假設(shè)，遞推才真） （3）明確變形目標(biāo)（寫(xiě)明結(jié)論，才算完整） 變式訓(xùn)練：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立； （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立， 即， 則當(dāng)時(shí) 所以，公式成立， 由（1）（2）可知，當(dāng)時(shí)， 公式成立. 六、當(dāng)堂檢測(cè) 1、 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊 計(jì)算所得的結(jié)果是（ ） A．1 B. C． D. 2. 已知:,則等于( ) A: B: C: D: 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:12＋23＋34＋……＋n(n＋1)＝ 設(shè)計(jì)意圖：目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看待物理模型，建立各學(xué)科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變化的規(guī)律。 七、課堂小結(jié) 1.知識(shí)建構(gòu) 2.能力提高 3.課堂體驗(yàn) 八、課時(shí)練與測(cè) 九、教學(xué)反思