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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)選修1-1教案：2-4-1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 項目 內(nèi)容 課題 2.4.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 （共 1 課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 知識與技能：使學(xué)生掌握拋物線的定義，理解焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程的幾何意義，能夠根據(jù)已知條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 過程與方法：掌握開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，進(jìn)一步理解求曲線的方法——坐標(biāo)法；通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生在解決問題時應(yīng)具有觀察、類比、分析和計算的能力。 情感、態(tài)度與價值觀：通過一個簡單實(shí)驗引入拋物線的定義，可以對學(xué)生進(jìn)行理論來源于實(shí)踐的辯證唯物主義思想教育． 教學(xué)重、 難點(diǎn) 重點(diǎn)：拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程． 難點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)． 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 (一)導(dǎo)出課題 我們已學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線．今天我們將學(xué)習(xí)第四種圓錐曲線——拋物線，以及它的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程．課題是“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”． 請大家思考兩個問題： 問題1：同學(xué)們對拋物線已有了哪些認(rèn)識？ 在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運(yùn)行軌道；在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖象？ 問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？ 在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形． 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了．今天，我們突破函數(shù)研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線． (二)拋物線的定義 1．回顧 平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F的距離和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時是橢圓，當(dāng)e＞1時是雙曲線，那么當(dāng)e=1時，它又是什么曲線？ 2．簡單實(shí)驗 如圖2-29，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點(diǎn)A，截取繩子的長等于A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線．反復(fù)演示后，請同學(xué)們來歸納拋物線的定義，教師總結(jié)． 3．定義 這樣，可以把拋物線的定義概括成： 平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)．定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． (三)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 設(shè)定點(diǎn)F到定直線l的距離為p(p為已知數(shù)且大于0)．下面，我們來求拋物線的方程．怎樣選擇直角坐標(biāo)系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？ 讓學(xué)生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導(dǎo)，最后簡單小結(jié)建立直角坐標(biāo)系的幾種方案： 方案1：(由第一組同學(xué)完成，請一學(xué)生板練．) 以l為y軸，過點(diǎn)F與直線l垂直的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(圖2- 30)．設(shè)定點(diǎn)F(p，0)，動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，過M作MD⊥y軸于D，拋物線的集合為：p={M||MF|=|MD|}． 化簡后得：y2=2px-p2(p＞0)． 方案2：(由第二組同學(xué)完成，請一學(xué)生板練) 以定點(diǎn)F為原點(diǎn)，平行l(wèi)的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)．設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，且設(shè)直線l的方程為x=-p，定點(diǎn)F(0，0)，過M作MD⊥l于D，拋物線的集合為： p={M||MF|=|MD|}． 化簡得：y2=2px+p2(p＞0)． 方案3：(由第三、四組同學(xué)完成，請一學(xué)生板練．) 取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖． 拋物線上的點(diǎn)M(x，y)到l的距離為d，拋物線是集合p={M||MF|=d}． 化簡后得：y2=2px(p＞0)． 比較所得的各個方程，應(yīng)該選擇哪些方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？ 引導(dǎo)學(xué)生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．這是因為這個方程不僅具有較簡的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項系數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的2倍． 由于焦點(diǎn)和準(zhǔn)線在坐標(biāo)系下的不同分布情況，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種情形(列表如下)： 將上表畫在小黑板上，講解時出示小黑板，并講清為什么會出現(xiàn)四種不同的情形，四種情形中P＞0；并指出圖形的位置特征和方程的形式應(yīng)結(jié)合起來記憶．即：當(dāng)對稱軸為x軸時，方程等號右端為2px，相應(yīng)地左端為y2；當(dāng)對稱軸為y軸時，方程等號的右端為2py，相應(yīng)地左端為x2．同時注意：當(dāng)焦點(diǎn)在正半軸上時，取正號；當(dāng)焦點(diǎn)在負(fù)半軸上時，取負(fù)號． (四)四種標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 例題：(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； (2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0，-2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程． 方程是x2=-8y． 練習(xí)：根據(jù)下列所給條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)焦點(diǎn)是F(3，0)； (3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2． 由三名學(xué)生板練，教師予以糾正． 這時，教師小結(jié)一下：由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了；若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒有給定，則所求的標(biāo)準(zhǔn)方程就會有多解． (五)課時小結(jié) 本節(jié)課主要介紹了拋物線的定義，推導(dǎo)出拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式，并加以運(yùn)用． （六）布置作業(yè) 到準(zhǔn)線的距離是多少？點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是多少？ 2．求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： (1)x2=2y；(2)4x2+3y=0； (3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0． 3．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并描點(diǎn)畫出圖形： (1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6； (2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，并經(jīng)過點(diǎn)p(-6，-3)． 4．求焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 板書設(shè)計 2.4.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1.拋物線的定義 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 教學(xué)反思 1.讓學(xué)生自己探索如何建立坐標(biāo)系，能使求得的方程最為簡潔，提高學(xué)生知識的遷移能力。 2.引導(dǎo)學(xué)生分析，坐標(biāo)系還有哪些建立方式，求得的方程一樣的簡潔，并求出方程。