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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二2.2.3《直線與平面平行的性質(zhì)》word教案 一、教材分析 上節(jié)課已學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定定理,這節(jié)課將通過(guò)例題讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的難度，進(jìn)而明確告訴學(xué)生：線面平行的性質(zhì)定理是高考考查的重點(diǎn)，也是最難應(yīng)用的兩個(gè)定理之一.本節(jié)重點(diǎn)是直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用. 二、教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用. 2．過(guò)程與方法 學(xué)生通過(guò)觀察與類比，借助實(shí)物模型性質(zhì)及其應(yīng)用. 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 （1）進(jìn)一步提高學(xué)生空間想象能力、思維能力. （2）進(jìn)一步體會(huì)類比的作用. （3）進(jìn)一步滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想. 三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì)定理. 教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用. 四、課時(shí)安排 1課時(shí) 五、教學(xué)設(shè)計(jì) （一）復(fù)習(xí) 回憶直線與平面平行的判定定理： （1）文字語(yǔ)言：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行. （2）符號(hào)語(yǔ)言為： （3）圖形語(yǔ)言為：如圖1. 圖1 （二）導(dǎo)入新課 思路1.(情境導(dǎo)入) 教室內(nèi)日光燈管所在的直線與地面平行，是不是地面內(nèi)的所有直線都與日光燈管所在的直線平行？ 思路2.(事例導(dǎo)入) 觀察長(zhǎng)方體（圖2），可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，線段A′B所在的直線與長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′的側(cè)面C′D′DC所在平面平行，你能在側(cè)面C′D′DC所在平面內(nèi)作一條直線與A′B平行嗎？ 圖2 （三）推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題 ①回憶空間兩直線的位置關(guān)系. ②若一條直線與一個(gè)平面平行，探究這條直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系. ③用三種語(yǔ)言描述直線與平面平行的性質(zhì)定理. ④試證明直線與平面平行的性質(zhì)定理. ⑤應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是什么？ ⑥總結(jié)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的要訣. 活動(dòng):問(wèn)題①引導(dǎo)學(xué)生回憶兩直線的位置關(guān)系. 問(wèn)題②借助模型鍛煉學(xué)生的空間想象能力. 問(wèn)題③引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換. 問(wèn)題④引導(dǎo)學(xué)生用排除法. 問(wèn)題⑤引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用的難點(diǎn). 問(wèn)題⑥鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)，教師歸納. 討論結(jié)果：①空間兩條直線的位置關(guān)系：相交、平行、異面. ②若一條直線與一個(gè)平面平行，這條直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系不可能是相交（可用反證法證明）,所以，該直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系還有兩種，即平行或異面. 怎樣在平面內(nèi)作一條直線與該直線平行呢（排除異面的情況）？經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行. ③直線與平面平行的性質(zhì)定理用文字語(yǔ)言表示為： 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行. 這個(gè)定理用符號(hào)語(yǔ)言可表示為： 這個(gè)定理用圖形語(yǔ)言可表示為：如圖3. 圖3 ④已知a∥α，aβ，α∩β=b.求證：a∥b. 證明： ⑤應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是：過(guò)這條直線作一個(gè)平面. ⑥應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的要訣：“見(jiàn)到線面平行，先過(guò)這條直線作一個(gè)平面找交線”. （四）應(yīng)用示例 思路1 例1 如圖4所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′. 圖4 (1)要經(jīng)過(guò)面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi)，應(yīng)怎樣畫(huà)線？ (2)所畫(huà)的線與面AC是什么位置關(guān)系？ 活動(dòng):先讓學(xué)生思考、討論再回答，然后教師加以引導(dǎo). 分析：經(jīng)過(guò)木料表面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi),實(shí)際上是經(jīng)過(guò)BC及BC外一點(diǎn)P作截面,也就是找出平面與平面的交線.我們可以由線面平行的性質(zhì)定理和公理4、公理2作出. 解：（1）如圖5，在平面A′C′內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線EF,使EF∥B′C′， 圖5 并分別交棱A′B′、C′D′于點(diǎn)E、F.連接BE、CF. 則EF、BE、CF就是應(yīng)畫(huà)的線. (2)因?yàn)槔釨C平行于面A′C′，平面BC′與平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′. 由（1）知，EF∥B′C′， 所以EF∥BC.因此 BE、CF顯然都與平面AC相交. 變式訓(xùn)練 如圖6，a∥α,A是α另一側(cè)的點(diǎn)，B、C、D∈a，線段AB、AC、AD交α于E、F、G點(diǎn)，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG. 圖6 解：Aa，∴A、a確定一個(gè)平面，設(shè)為β. ∵B∈a，∴B∈β. 又A∈β，∴ABβ. 同理ACβ，ADβ. ∵點(diǎn)A與直線a在α的異側(cè), ∴β與α相交. ∴面ABD與面α相交，交線為EG. ∵BD∥α，BD面BAD，面BAD∩α=EG, ∴BD∥EG. ∴△AEG∽△ABD. ∴.(相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例) ∴EG=. 點(diǎn)評(píng)：見(jiàn)到線面平行，先過(guò)這條直線作一個(gè)平面找交線，直線與交線平行，如果再需要過(guò)已知點(diǎn)，這個(gè)平面是確定的. 例2 已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，求證另一條也平行于這個(gè)平面.如圖7. 圖7 已知直線a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外. 求證：b∥α. 證明：過(guò)a作平面β,使它與平面α相交,交線為c. ∵a∥α,aβ,α∩β=c, ∴a∥c. ∵a∥b,∴b∥c. ∵cα,bα,∴b∥α. 變式訓(xùn)練 如圖8,E、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，平面α過(guò)EH分別交BC、CD于F、G.求證：EH∥FG. 圖8 證明：連接EH. ∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn), ∴EH∥BD. 又BD面BCD，EH面BCD, ∴EH∥面BCD. 又EHα、α∩面BCD=FG, ∴EH∥FG. 點(diǎn)評(píng)：見(jiàn)到線面平行，先過(guò)這條直線作一個(gè)平面找交線，則直線與交線平行. 思路2 例1 求證：如果兩個(gè)相交平面分別經(jīng)過(guò)兩條平行直線中的一條，那么它們的交線和這條直線平行.如圖9. 圖9 已知a∥b,aα，bβ，α∩β=c. 求證：c∥a∥b. 證明： 變式訓(xùn)練 求證：一條直線與兩個(gè)相交平面都平行，則這條直線與這兩個(gè)相交平面的交線平行. 圖10 已知：如圖10,a∥α,a∥β,α∩β=b， 求證： a∥b. 證明：如圖10，過(guò)a作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有 點(diǎn)評(píng)：本題證明過(guò)程，實(shí)際上就是不斷交替使用線面平行的判定定理、性質(zhì)定理及公理4的過(guò)程.這是證明線線平行的一種典型的思路. 例2 如圖11，平行四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，求證：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH. 圖11 證明：∵EFGH是平行四邊形 變式訓(xùn)練 如圖12，平面EFGH分別平行于CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB. 圖12 （1）求證：EFGH是矩形； （2）設(shè)DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面積. (1)證明：∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD=EF, ∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG. 同理HE∥GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形. 由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF為CD和AB所成的角. 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴四邊形EFGH為矩形. （2）解：由（1）可知在△BCD中EF∥CD，DE=m，EB=n, ∴.又CD=a,∴EF=. 由HE∥AB,∴. 又∵AB=b,∴HE=. 又∵四邊形EFGH為矩形, ∴S矩形EFGH=HEEF=. 點(diǎn)評(píng)：線面平行問(wèn)題是平行問(wèn)題的重點(diǎn)，有著廣泛應(yīng)用. （五）知能訓(xùn)練 求證：經(jīng)過(guò)兩條異面直線中的一條有且只有一個(gè)平面和另一條直線平行. 已知：a、b是異面直線. 求證：過(guò)b有且只有一個(gè)平面與a平行. 證明：(1)存在性.如圖13， 圖13 在直線b上任取一點(diǎn)A，顯然Aa. 過(guò)A與a作平面β, 在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作直線a′∥a, 則a′與b是相交直線，它們確定一個(gè)平面，設(shè)為α, ∵bα，a與b異面，∴aα. 又∵a∥a′，a′α，∴a∥α. ∴過(guò)b有一個(gè)平面α與a平行. (2)唯一性. 假設(shè)平面γ是過(guò)b且與a平行的另一個(gè)平面, 則bγ.∵A∈b，∴A∈γ. 又∵A∈β，∴γ與β相交，設(shè)交線為a″，則A∈a″. ∵a∥γ，aβ，γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′，∴a′∥a″. 這與a′∩a″=A矛盾. ∴假設(shè)錯(cuò)誤，故過(guò)b且與a平行的平面只有一個(gè). 綜上所述，過(guò)b有且只有一個(gè)平面與a平行. 變式訓(xùn)練 已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥a.求證：bα. 證明：假設(shè)bα，如圖14， 圖14 設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線a的平面為β，α∩β=b′, ∵a∥α，∴a∥b′(線面平行則線線平行). 又∵a∥b，∴b∥b′,這與b∩b′=A矛盾. ∴假設(shè)錯(cuò)誤.故bα. （六）拓展提升 已知：a,b為異面直線,aα,bβ,a∥β,b∥α,求證:α∥β. 證明：如圖15，在b上任取一點(diǎn)P，由點(diǎn)P和直線a確定的平面γ與平面β交于直線c，則c與b相交于點(diǎn)P. 圖15 變式訓(xùn)練 已知AB、CD為異面線段，E、F分別為AC、BD中點(diǎn)，過(guò)E、F作平面α∥AB. （1）求證：CD∥α; （2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB與CD所成角的大小. （1）證明：如圖16，連接AD交α于G，連接GF, 圖16 ∵AB∥α，面ADB∩α=GFAB∥GF. 又∵F為BD中點(diǎn), ∴G為AD中點(diǎn). 又∵AC、AD相交，確定的平面ACD∩α=EG,E為AC中點(diǎn)，G為AD中點(diǎn),∴EG∥CD. （2）解：由（1）證明可知： ∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1, EF=. 在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90,即AB與CD所成角的大小為90. （七）課堂小結(jié) 知識(shí)總結(jié):利用線面平行的性質(zhì)定理將直線與平面平行轉(zhuǎn)化為直線與直線平行. 方法總結(jié):應(yīng)用直線與平面平行的性質(zhì)定理需要過(guò)已知直線作一個(gè)平面,是最難應(yīng)用的定理之一;應(yīng)讓學(xué)生熟記:“過(guò)直線作平面，把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行”. （八）作業(yè) 課本習(xí)題2.2 A組5、6.