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第二章 第2-3節(jié) 三角形中的幾何計(jì)算；解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例（理）北師大版必修5 【本講教育信息】 一、教學(xué)內(nèi)容： 三角形中的幾何計(jì)算及實(shí)際應(yīng)用舉例 二、教學(xué)目標(biāo) （1）體會(huì)用正弦定理、余弦定理處理三角形中的計(jì)算問(wèn)題。 （2）能靈活的運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決測(cè)量、航海、臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)等有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)建立三角函數(shù)模型的思想。 （3）結(jié)合正弦定理、余弦定理等體會(huì)用方程的數(shù)學(xué)思想、分論討論的數(shù)學(xué)思想等解決實(shí)際問(wèn)題。 三、知識(shí)要點(diǎn)分析： 1. 三角形中的幾何計(jì)算的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)（三角形中的邊和角的關(guān)系：） （i）大角對(duì)大邊： （ii）正弦定理：，（R是三角形外接圓的半徑） （iii）余弦定理： （iv）三角形的面積 S△ABC 2. 解決實(shí)際問(wèn)題的有關(guān)知識(shí)點(diǎn) （1）仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角。 （2）方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角叫方位角。 （3）解決實(shí)際問(wèn)題的步驟 （i）理解題意分清已知與未知。（ii）畫(huà)圖建模利用正、余弦定理等知識(shí)點(diǎn)求解。（iii）作答。 3. 掌握三角形內(nèi)角誘導(dǎo)公式及相關(guān)的結(jié)論，（i）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （ii） （iii） 【典型例題】 考點(diǎn)一：三角形中的幾何計(jì)算 例1. 設(shè)D是直角三角形ABC的斜邊BC上的一點(diǎn)，AB=AD，。 （1）求證：，（2）若求的值。 思路分析：（1）由已知找出與的關(guān)系，即，即可證明。（2）由正弦定理得到關(guān)于的方程即可。 解：（1）由AB=AD . ① （2）由正弦定理得： 將此式代入①得： ② 將②整理得： 又 故。即所求的角是 例2. 設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，P到A、B、C的距離分別是1，2，3，求正方形ABCD的邊長(zhǎng) 思路分析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)角ABP與角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立關(guān)于x的方程，再求解。 解：設(shè)邊長(zhǎng)是x，（1b (a,b是實(shí)數(shù)) 4. 二次函數(shù)的關(guān)系是什么？ 二：預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 探究、反思 探究反思的任務(wù)：不等關(guān)系、一元二次不等式的解法 1、舉例說(shuō)明在現(xiàn)實(shí)生活中的不等關(guān)系。 【反思】比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法有哪些？（作差比較，作商比較） a-b>0 2、不等式的性質(zhì)有哪些？ 傳遞性_________，(2)加法單調(diào)性_________，（3）乘法單調(diào)性_________。（4）同向不等式相加______________（5）兩邊都是正數(shù)的同向不等式相乘_____________。 【反思】由上面的性質(zhì)你能證明：a>b>0,嗎？ 3、一元二次不等式的定義：_____________________________________________。 4、一元二次不等式的解法的步驟有_______________________________________。 【反思】（1）你能畫(huà)出解一元二次不等式的解法的程序框圖嗎？ （2）對(duì)不等式，若方程 三種情形中，如何表示不等式的解集？ 5、分式不等式的解法思想是___________________________________________ 【反思】分式不等式可化為不等式組________________ 6、一元高次不等式的解法思想是__________________________________________ 簡(jiǎn)述用穿針引線法求一元高次不等式的解集的方法。 【反思】：在利用穿針引線法求一元高次不等式的解集的過(guò)程中，若出現(xiàn)因式，應(yīng)如何處理？ 【模擬試題】（答題時(shí)間：70分鐘） 一、選擇題： 1. 在△ABC中，已知a=1，b=，∠A=30，B為銳角，則角A，B，C的大小關(guān)系是（　?。? A. A>B>C B. B>A>C C. C>B>A D. C>A>B *2. 在△ABC中，角A，B滿(mǎn)足：sin=sin，則三邊a，b，c必滿(mǎn)足（ ） A. a=b B. a=b=c C. a+b=2c D. 3. 如圖，D，C，B三點(diǎn)在一條直線上，DC=a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角是，（）則A點(diǎn)離地面的高度AB 等于（ ） 4. 在三角形ABC中，下列等式總能成立的是（ ） A. a cosC=c cosA B. bsinC=csinA C. absinc=bcsinB D. asinC=csinA *5. 某人向正東方向走x千米后，他向右轉(zhuǎn)150，然后朝新的方向走3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為千米，則x=（ ） *6. 有一座20米高的觀測(cè)臺(tái)，測(cè)得對(duì)面一水塔塔頂?shù)难鼋鞘?0，塔底的俯角是，則這座塔高是（ ） *7. 已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都是a km，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離是（ ） 8. 在三角形ABC中，若（a+b+c）（b+c－a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，則三角形ABC是（ ） A. 等腰三角形， B. 等邊三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空題： *9. 在三角形ABC中，a－b=4，a+c=2b，且最大角為120，則此三角形的周長(zhǎng)是 **10. 在三角形ABC中，若C=3B，則的取值范圍是 *11. 在三角形ABC中，已知B=45，C=60，則三角形的面積S=________ 12. 海上有A，B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望，C島和B島成60視角，從B島望A島和C島成75視角，則B島和C島的距離是 海里 *13. 在三角形ABC中，若acosA+bcosB=c cosC，則三角形ABC的形狀是 **14. 若等腰三角形的頂角是20，底邊和一腰長(zhǎng)分別是b，a，則下列結(jié)論不成立的是 （1），（3）（4） 三、計(jì)算題： *15. 已知地面上有一旗桿OP，為了測(cè)得其高度h，地面上取一基線AB，AB=20米，在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OAP=30，在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OBP=45，又知∠AOB=60，求旗桿的高度h. 16. 已知小島A的周?chē)?8海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30，航行30海里后在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，問(wèn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？ **17. 在圓心角為60的扇形鐵板OAB中，工人師傅要裁出一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形，求此內(nèi)接矩形的最大面積。 【試題答案】 一、選擇題: C D A D C B B B 二、填空題： 9. 30 10.（1，3） 11. 12. 13. 直角三角形 14.（2）（3）（4） 三、計(jì)算題： 15.【分析】欲求旗桿的高度，只要注意到OP=OB=h.然后利用正弦定理或余弦定理解決即可。 解：AO=OPcot30=，OB=OP=h，在三角形ABO中：由余弦定理得： 60 答：所求旗桿的高度是。 16.【分析】要判斷船有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)，只要判斷A到BC的直線距離是否大于38海里就可以判斷。 解：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30，∠ACB=180－45=135，故∠A= 15 由正弦定理得： 故 于是A到BC的直線距離是Acsin45== ，大于38海里。 答：繼續(xù)向南航行無(wú)觸礁的危險(xiǎn)。 17. 【分析】要找出內(nèi)接矩形的長(zhǎng)寬與面積S的關(guān)系，可采用引入第三個(gè)變量的辦法，用表示矩形的長(zhǎng)寬x，y，這樣矩形的面積可以表示成的三角函數(shù)，通過(guò)的變化情況，得出S的最大值。 解：如圖，設(shè)PQ=x，MP=y，則矩形面積S=xy 連接ON，令∠AON=，則y=Rsin 在三角形OMN中：由正弦定理得： 故當(dāng)=30時(shí)，矩形的面積最大，其最大值是.