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課時27 拋物線 模擬訓練（分值：60分 建議用時：30分鐘） 1．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，－2)到焦點的距離為4，則m的值為(　　) A．4　　　　　　　　　　　B．－2 C．4或－4 D．12或－2 【答案】C 2．設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若＝0，則等于(　　) A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【解析】設(shè)A、B、C三點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(xiàn)(1,0)． ∵＝0，∴x1＋x2＋x3＝3. 又由拋物線定義知＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6，故選B. 3．過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 【答案】C 【解析】結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)． 4．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 【答案】A 【解析】如圖所示，動點P到l2：x＝－1的距離可轉(zhuǎn)化為P到F的距離，由圖可知，距離和的最小值即F到直線l1的距離d＝＝2，故選A. 【規(guī)律總結(jié)】重視定義在解題中的應用,靈活地進行 拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉(zhuǎn)化.“看到準線想焦點,看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑. 5．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝8x 【答案】B 【解析】由題可知拋物線焦點坐標為(，0)，于是過焦點且斜率為2的直線的方程為y＝2(x－)，令x＝0，可得A點坐標為(0，－)，所以S△OAF＝＝4，∴a＝8. 6．已知拋物線y2＝4x上兩個動點B、C和點A(1,2)，且∠BAC＝90，則動直線BC必過定點(　　) A．(2,5) B．(－2,5) C．(5，－2) D．(5,2) 【答案】C 7．已知拋物線型拱的頂點距離水面2米時，測量水面寬為8米，當水面上升米后，水面的寬度是________． 【答案】4米 【解析】設(shè)拋物線方程為x2＝－2py，將(4，－2)代入方程得16＝－2p(－2)，解得2p＝8， 故方程為x2＝－8y，水面上升米，則y＝－，代入方程，得x2＝－8＝12，x＝2.故水面寬4米． 8．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過F且垂直于x軸的直線交該拋物線于A、B兩點．若橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點與點F重合，右頂點與A、B構(gòu)成等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為__________． 【答案】 【解析】由y2＝4x得，拋物線的焦點為F(1,0)，過點F且垂直于x軸的直線與該拋物線的交點坐標分別為：A(1,2)，B(1，－2)，又橢圓C右焦點的坐標為(1,0)，橢圓右頂點與A，B構(gòu)成等腰直角三角形，所以橢圓的右頂點坐標為(3,0)，即a＝3，所以e＝＝. 9.已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)過點A(1，－2)． (1)求拋物線C的方程，并求其準線方程； (2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 【解析】(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p1，所以p＝2.故所求的拋物線C的方程為y2＝4x，其準線方程為x＝－1. 10．在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A、B兩點． (1)如果直線l過拋物線的焦點，求的值； (2)如果＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點． 【解析】(1)由題意：拋物線焦點為(1,0)， 設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2 [新題訓練] （分值：10分 建議用時：10分鐘） 11．（5分）點P到A(1,0)和直線x＝－1的距離相等，且點P到直線l：y＝x的距離等于，則這樣的點P的個數(shù)為________． 【答案】3 【解析】由拋物線定義，知點P的軌跡為拋物線，其方程為y2＝4x，設(shè)點P的坐標為，由點到直線的距離公式，知＝，即y－4y04＝0，易知y0有三個解，故點P個數(shù)有三個． 12．（5分）已知點M是拋物線y2＝4x上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，A在圓C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，則|MA|＋|MF|的最小值為________． 【答案】4 【解析】依題意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由拋物線的定義知|MF|等于點M到拋物線的準線x＝－1的距離，結(jié)合圖形不難得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圓心C(4,1)到拋物線的準線x＝－1的距離，即為5，因此所求的最小值為4.