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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二3.2.1《直線的點(diǎn)斜式方程》word教案 一、教材分析 直線方程的點(diǎn)斜式給出了根據(jù)已知一個點(diǎn)和斜率求直線方程的方法和途徑.在求直線的方程中，直線方程的點(diǎn)斜式是基本的，直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式都是由點(diǎn)斜式推出的.從一次函數(shù)y=kx＋b(k≠0)引入，自然地過渡到本節(jié)課想要解決的問題——求直線的方程問題.在引入過程中，要讓學(xué)生弄清直線與方程的一一對應(yīng)關(guān)系，理解研究直線可以從研究方程及方程的特征入手. 在推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式時，根據(jù)直線這一結(jié)論，先猜想確定一條直線的條件，再根據(jù)猜想得到的條件求出直線的方程. 二、教學(xué)目標(biāo) 1．知識與技能 （1）理解直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式的形式特點(diǎn)和適用范圍； （2）能正確利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式公式求直線方程； （3）體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系. 2．過程與方法 在已知直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線的幾何要素——直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角的基礎(chǔ)上，通過師生探討，得出直線的點(diǎn)斜式方程，學(xué)生通過對比理解“截距”與“距離”的區(qū)別. 3．情態(tài)與價(jià)值觀 通過讓學(xué)生體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)，使學(xué)生能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題. 三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件，并會利用探討出的條件求出直線的方程. 教學(xué)難點(diǎn):在理解的基礎(chǔ)上掌握直線方程的點(diǎn)斜式的特征及適用范圍. 四、課時安排 1課時 五、教學(xué)設(shè)計(jì) （一）導(dǎo)入新課 思路1.方程y=kx＋b與直線l之間存在著什么樣的關(guān)系？ 讓學(xué)生邊回答，教師邊適當(dāng)板書.它們之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系,即 （1）直線l上任意一點(diǎn)P(x1,y1)的坐標(biāo)是方程y=kx＋b的解. （2）(x1,y1)是方程y=kx+b的解點(diǎn)P(x1,y1)在直線l上. 這樣好像直線能用方程表示,這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)、研究這個問題——直線的方程(宣布課題). 思路2.在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)，并接觸過一次函數(shù)的圖象，現(xiàn)在，請同學(xué)們作一下回顧： 一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，它是以滿足y=kx+b的每一對x、y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.由于函數(shù)式y(tǒng)=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我們可以說，這個方程的解和直線上的點(diǎn)也存在這樣的對應(yīng)關(guān)系.這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)直線的方程(宣布課題). （二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題 ①如果把直線當(dāng)做結(jié)論，那么確定一條直線需要幾個條件？如何根據(jù)所給條件求出直線的方程？ ②已知直線l的斜率k且l經(jīng)過點(diǎn)P1(x1,y1)，如何求直線l的方程? ③方程導(dǎo)出的條件是什么？ ④若直線的斜率k不存在，則直線方程怎樣表示？ ⑤k=與y-y1=k(x-x1)表示同一直線嗎？ ⑥已知直線l的斜率k且l經(jīng)過點(diǎn)（０，ｂ），如何求直線l的方程？ 討論結(jié)果:①確定一條直線需要兩個條件: a.確定一條直線只需知道k、b即可； b.確定一條直線只需知道直線l上兩個不同的已知點(diǎn). ②設(shè)P(x，y)為l上任意一點(diǎn)，由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式,得k=,化簡,得y－y1=k(x－x1). ③方程導(dǎo)出的條件是直線l的斜率k存在. ④a.x=0；b.x=x1. ⑤啟發(fā)學(xué)生回答:方程k=表示的直線l缺少一個點(diǎn)P1(x1,y1),而方程y－y1=k(x－x1)表示的直線l才是整條直線. ⑥y=kx+b. （三）應(yīng)用示例 思路1 例1 一條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(-2,3),傾斜角α=45,求這條直線方程,并畫出圖形. 圖1 解:這條直線經(jīng)過點(diǎn)P1(-2,3),斜率是k=tan45=1.代入點(diǎn)斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0, 這就是所求的直線方程,圖形如圖1所示. 點(diǎn)評:此例是點(diǎn)斜式方程的直接運(yùn)用,要求學(xué)生熟練掌握,并具備一定的作圖能力. 變式訓(xùn)練 求直線y=-(x-2)繞點(diǎn)(2,0)按順時針方向旋轉(zhuǎn)30所得的直線方程. 解：設(shè)直線y=-(x-2)的傾斜角為α，則tanα=-， 又∵α∈［0,180)， ∴α=120. ∴所求的直線的傾斜角為120-30=90.∴直線方程為x=2. 例2 如果設(shè)兩條直線l1和l2的方程分別是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，試討論: （1）當(dāng)l1∥l2時，兩條直線在y軸上的截距明顯不同，但哪些量是相等的？為什么？ （2）l1⊥l2的條件是什么？ 活動:學(xué)生思考：如果α1=α2，則tanα1=tanα2一定成立嗎？何時不成立？由此可知：如果l1∥l2，當(dāng)其中一條直線的斜率不存在時，則另一條直線的斜率必定不存在.反之，問：如果b1≠b2且k1=k2，則l1與l2的位置關(guān)系是怎樣的？由學(xué)生回答，重點(diǎn)說明α1=α2得出tanα1=tanα2的依據(jù). 解:（1）當(dāng)直線l1與l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2時，直線l1∥l2k1=k2且b1≠b2. (2)l1⊥l2k1k2=-1. 變式訓(xùn)練 判斷下列直線的位置關(guān)系: (1)l1:y=x+3,l2:y=x-2; (2)l1:y=x,l2:y=-x. 答案：(1)平行；(2)垂直. 思路2 例1 已知直線l1：y=4x和點(diǎn)P(6，4)，過點(diǎn)P引一直線l與l1交于點(diǎn)Q，與x軸正半軸交于點(diǎn)R，當(dāng)△OQR的面積最小時，求直線l的方程. 活動:因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)P(6，4)，所以只要求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，就能由直線方程的兩點(diǎn)式寫出直線l的方程. 解：因?yàn)檫^點(diǎn)P(6，4)的直線方程為x=6和y－4=k(x－6), 當(dāng)l的方程為x=6時，△OQR的面積為S=72； 當(dāng)l的方程為y－4=k(x－6)時，有R(,0)， Q（,)， 此時△OQR的面積為S==. 變形為(S－72)k2＋(96－4S)k－32=0(S≠72). 因?yàn)樯鲜龇匠谈呐袆e式Δ≥0，所以得S≥40. 當(dāng)且僅當(dāng)k=－1時，S有最小值40. 因此，直線l的方程為y－4=－(x－6)，即x＋y－10=0. 點(diǎn)評：本例是一道有關(guān)函數(shù)最值的綜合題.如何恰當(dāng)選取自變量，建立面積函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.怎樣求這個面積函數(shù)的最值，學(xué)生可能有困難，教師宜根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行啟發(fā)和指導(dǎo). 變式訓(xùn)練 如圖2，要在土地ABCDE上劃出一塊長方形地面（不改變方向），問如何設(shè)計(jì)才能使占地面積最大？并求出最大面積（精確到1 m2）（單位：m）. 圖2 解：建立如圖直角坐標(biāo)系，在線段AB上任取一點(diǎn)P分別向CD、DE作垂線，劃得一矩形土地. ∵AB方程為=1,則設(shè)P(x,20-)(0≤x≤30), 則S矩形=(100-x)［80-(20-)］ =-(x-5)2+6 000+(0≤x≤30), 當(dāng)x=5時，y=，即P（5，）時，(S矩形)max=6 017(m2). 例2 設(shè)△ABC的頂點(diǎn)A(1，3)，邊AB、AC上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1=0，y=1，求△ABC中AB、AC各邊所在直線的方程. 活動:為了搞清△ABC中各有關(guān)元素的位置狀況，我們首先根據(jù)已知條件，畫出簡圖3,幫助思考問題. 解:如圖3,設(shè)AC的中點(diǎn)為F，AC邊上的中線BF：y=1. 圖3 AB邊的中點(diǎn)為E，AB邊上中線 CE：x－2y＋1=0. 設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n),則F(). 又F在AC中線上,則=1, ∴n=-1. 又C點(diǎn)在中線CE上，應(yīng)當(dāng)滿足CE的方程，則m－2n＋1=0. ∴m=－3.∴C點(diǎn)為(－3，－1). 設(shè)B點(diǎn)為(a,1),則AB中點(diǎn)E(),即E(,2). 又E在AB中線上,則-4+1=0.∴a=5. ∴B點(diǎn)為(5，1). 由兩點(diǎn)式,得到AB，AC所在直線的方程AC：x－y＋2=0,AB：x＋2y－7=0. 點(diǎn)評：此題思路較為復(fù)雜，應(yīng)使同學(xué)們做完后從中領(lǐng)悟到兩點(diǎn)： (1)中點(diǎn)分式要靈活應(yīng)用； (2)如果一個點(diǎn)在直線上，則這點(diǎn)的坐標(biāo)滿足這條直線的方程，這一觀念必須牢牢地樹立起來. 變式訓(xùn)練 已知點(diǎn)M（1，0），N（－1，0）,點(diǎn)P為直線2x-y-1=0上的動點(diǎn)，則|PM|2+|PN|2的最小值為何？ 解：∵P點(diǎn)在直線2x-y-1=0上,∴設(shè)P（x0,2x0-1）. ∴|PM|2+|PN|2=10(x0-)2+≥. ∴最小值為. （四）知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí)1、２、３、４. （五）拓展提升 已知直線y=kx＋k＋2與以A(0，－3)、B(3，0)為端點(diǎn)的線段相交，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 圖4 活動:此題要首先畫出圖形4，幫助我們找尋思路，仔細(xì)研究直線y=kx＋k＋2，我們發(fā)現(xiàn)它可以變?yōu)閥－2=k(x＋1)，這就可以看出，這是過(－1，2)點(diǎn)的一組直線.設(shè)這個定點(diǎn)為P(－1，2). 解：我們設(shè)PA的傾斜角為α1，PC的傾斜角為α，PB的傾斜角為α2，且α1＜α＜α2. 則k1=tanα1＜k＜k2=tanα2. 又k1==-5，k2==-， 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-5＜k＜-. （六）課堂小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家： 1.掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線的點(diǎn)斜式方程，了解直線方程的斜截式是點(diǎn)斜式的特例. 2.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件，并會利用探討出的條件求出直線的方程. （七）作業(yè) 習(xí)題3.2 A組2、3、5.