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2019-2020年高三數(shù)學(xué)《函數(shù)概念與基本初等函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì) 考綱導(dǎo)讀 （一）函數(shù) 1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，了解映射的概念,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域. 2．理解函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據(jù)不同的要求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞唵蔚暮瘮?shù)。 3．了解分段函數(shù)，能用分段函數(shù)來解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題。　 4．理解函數(shù)的單調(diào)性，會討論和證明一些簡單的函數(shù)的單調(diào)性；理解函數(shù)奇偶性的含義，會判斷簡單的函數(shù)奇偶性。 5．理解函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x，并能求出一些簡單的函數(shù)的最大（?。┲? 6．會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). （二）指數(shù)函數(shù) 1．了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景。 2．理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。 3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，會求與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題。 4．知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。 （三）對數(shù)函數(shù) 1．理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用。 2．理解對數(shù)函數(shù)的概念；會求與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題. 3．知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 4．了解指數(shù)函數(shù) 與對數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)（ ）。 （四）冪函數(shù) 1．了解冪函數(shù)的概念。 2．結(jié)合函數(shù) 的圖像，了解它們的變化情況。 （五）函數(shù)與方程 1．了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。 2．理解并掌握連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法。能利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)判別函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù). （六）函數(shù)模型及其應(yīng)用 1．了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征。知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。 2．了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。 3．能利用給定的函數(shù)模型解決簡單的實(shí)際問題。 知識網(wǎng)絡(luò) 高考導(dǎo)航 根據(jù)考試大綱的要求，結(jié)合xx年高考的命題情況，我們可以預(yù)測xx年集合部分在選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點(diǎn)有以下兩個(gè)方面：一是集合的運(yùn)算、集合的有關(guān)述語和符號、集合的簡單應(yīng)用等作基礎(chǔ)性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數(shù)、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡易邏輯知識考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn). 函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全過程，包括解決幾何問題.在近幾年的高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數(shù)試題，而且?？汲Ｐ?以基本函數(shù)為模型的應(yīng)用題和綜合題是高考命題的新趨勢. 考試熱點(diǎn)：①考查函數(shù)的表示法、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)和函數(shù)的圖象.②函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是相互關(guān)聯(lián)的概念，通過對實(shí)際問題的抽象分析，建立相應(yīng)的函數(shù)模型并用來解決問題，是考試的熱點(diǎn).③考查運(yùn)用函數(shù)的思想來觀察問題、分析問題和解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論的基本數(shù)學(xué)思想. 第1課時(shí) 函數(shù)及其表示 基礎(chǔ)過關(guān) 一、映射 1．映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做 到 的映射，記作 . 2．象與原象：如果f:A→B是一個(gè)A到B的映射，那么和A中的元素a對應(yīng)的 叫做象， 叫做原象。 二、函數(shù) 1．定義：設(shè)A、B是 ，f:A→B是從A到B的一個(gè)映射，則映射f:A→B叫做A到B的 ，記作 . 2．函數(shù)的三要素為 、 、 ，兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) 分別相同時(shí)，二者才能稱為同一函數(shù)。 3．函數(shù)的表示法有 、 、 。 典型例題 例1.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）. A. B. C. D. 解：C 變式訓(xùn)練1：下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是 （ ） A.y= B.y=()2 C.y=lg10x D.y= 解：C 例2.給出下列兩個(gè)條件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.試分別求出f(x)的解析式. 解：（1）令t=+1,∴t≥1，x=（t-1）2. 則f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1，+∞). （2）設(shè)f(x)=ax2+bx+c (a≠0), ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴，∴，又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3. 變式訓(xùn)練2：（1）已知f（）=lgx，求f（x）； （2）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）； （3）已知f（x）滿足2f（x）+f（）=3x，求f（x）. 解：(1)令+1=t，則x=， ∴f（t）=lg，∴f（x）=lg,x∈(1,+∞). （2）設(shè)f（x）=ax+b，則 3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7. （3）2f（x）+f（）=3x， ① 把①中的x換成，得2f（）+f（x）= ② ①2-②得3f（x）=6x-，∴f（x）=2x-. 例3. 等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，∠BAD=45，作直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域. 解：作BH⊥AD，H為垂足，CG⊥AD，G為垂足， 依題意，則有AH=，AG=a. （1）當(dāng)M位于點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，N∈AB， 由于AM=x，∠BAD=45.∴MN=x.∴y=S△AMN=x2（0≤x≤）. （2）當(dāng)M位于HG之間時(shí)，由于AM=x，∴MN=，BN=x-. ∴y=S AMNB =［x+（x-）］=ax- （3）當(dāng)M位于點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，由于AM=x，MN=MD=2a-x. ∴y=S ABCD-S△MDN= 綜上：y= 變式訓(xùn)練3：已知函數(shù)f(x)= （1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求f(1)，f(-1),f的值. 解：（1）分別作出f(x)在x＞0,x=0,x＜0段上的圖象，如圖所示，作法略. 小結(jié)歸納 （2）f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1. 1．了解映射的概念，應(yīng)緊扣定義，抓住任意性和唯一性． 2．函數(shù)的解析式常用求法有：待定系數(shù)法、換元法（或湊配法）、解方程組法．使用換元法時(shí)，要注意研究定義域的變化． 3．在簡單實(shí)際問題中建立函數(shù)式，首先要選定變量，然后尋找等量關(guān)系，求得函數(shù)的解析式，還要注意定義域．若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應(yīng)法則不同，可用分段函數(shù)來表示． 第2課時(shí) 函數(shù)的定義域和值域 基礎(chǔ)過關(guān) 一、定義域： 1．函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式 的集合. 2．常見的三種題型確定定義域： ① 已知函數(shù)的解析式，就是 . ② 復(fù)合函數(shù)f [g(x)]的有關(guān)定義域，就要保證內(nèi)函數(shù)g(x)的 域是外函數(shù)f (x)的 域. ③實(shí)際應(yīng)用問題的定義域，就是要使得 有意義的自變量的取值集合. 二、值域： 1．函數(shù)y＝f (x)中，與自變量x的值 的集合. 2．常見函數(shù)的值域求法，就是優(yōu)先考慮 ，取決于 ，常用的方法有：①觀察法；②配方法；③反函數(shù)法；④不等式法；⑤單調(diào)性法；⑥數(shù)形法；⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法（又分為 法和 法） 例如：① 形如y＝，可采用 法；② y＝，可采用 法或 法；③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用 法；④ y＝x－，可采用 法；⑤ y＝x－，可采用 法；⑥ y＝可采用 法等. 典型例題 例1. 求下列函數(shù)的定義域： （1）y=; (2)y=; (3)y=. 解：（1）由題意得化簡得 即故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＜0且x≠-1}. （2）由題意可得解得 故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-≤x≤且x≠}. （3）要使函數(shù)有意義，必須有 即∴x≥1,故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）. 變式訓(xùn)練1：求下列函數(shù)的定義域： （1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx; 解：（1）由得所以-3＜x＜2且x≠1. 故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?3，1）∪(1,2). （2）由得∴函數(shù)的定義域?yàn)? （3）由,得 借助于數(shù)軸，解這個(gè)不等式組，得函數(shù)的定義域?yàn)? 例2. 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?，1］，求下列函數(shù)的定義域. （1）y=f(3x); (2)y=f(); (3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a). 解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤,y=f(3x)的定義域?yàn)椋?, ］. （2）仿（1）解得定義域?yàn)椋?，+∞). （3）由條件，y的定義域是f與定義域的交集. 列出不等式組 故y=f的定義域?yàn)? （４）由條件得討論： ①當(dāng)即0≤a≤時(shí)，定義域?yàn)椋踑,1-a］; ②當(dāng)即-≤a≤0時(shí)，定義域?yàn)椋?a,1+a］. 綜上所述：當(dāng)0≤a≤時(shí)，定義域?yàn)椋踑，1-a］；當(dāng)-≤a≤0時(shí)，定義域?yàn)椋?a，1+a］. 變式訓(xùn)練2：若函數(shù)f(x)的定義域是［0，1］，則f(x+a)f(x-a)（0＜a＜）的定義域是 （ ） A. B.［a，1-a］ C.［-a，1+a］ D.［0，1］ 解：B 例3. 求下列函數(shù)的值域： （1）y= (2)y=x-; (3)y=. 解：（1）方法一 （配方法） ∵y=1-而 ∴0＜∴∴值域?yàn)? 方法二 （判別式法） 由y=得(y-1) ∵y=1時(shí),1.又∵R，∴必須=(1-y)2-4y(y-1)≥0. ∴∵∴函數(shù)的值域?yàn)? （2）方法一 （單調(diào)性法） 定義域，函數(shù)y=x,y=-均在上遞增， 故y≤ ∴函數(shù)的值域?yàn)? 方法二 （換元法） 令=t,則t≥0，且x=∴y=-（t+1）2+1≤（t≥0）, ∴y∈（-∞，］. （3）由y=得,ex=∵ex＞0,即＞0,解得-1＜y＜1. ∴函數(shù)的值域?yàn)閧y|-1＜y＜1}. 變式訓(xùn)練3：求下列函數(shù)的值域： （1）y=; (2)y=|x|. 解：（1）(分離常數(shù)法)y=-，∵≠0, ∴y≠-.故函數(shù)的值域是{y|y∈R,且y≠-}. (2)方法一 (換元法) ∵1-x2≥0,令x=sin,則有y=|sincos|=|sin2|, 故函數(shù)值域?yàn)椋?，］. 方法二 y=|x| ∴0≤y≤即函數(shù)的值域?yàn)? 例4．若函數(shù)f（x）=x2-x+a的定義域和值域均為［1，b］（b＞1），求a、b的值. 解：∵f（x）=(x-1)2+a-. ∴其對稱軸為x=1，即［1，b］為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間. ∴f（x）min=f（1）=a-=1 ① f（x）max=f（b）=b2-b+a=b ② 由①②解得 變式訓(xùn)練4：已知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6 (x∈R). （1）求函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞)時(shí)的a的值； （2）若函數(shù)的值均為非負(fù)值，求函數(shù)f(a)=2-a|a+3|的值域. 解： (1）∵函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞), ∴Δ=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0∴a=-1或a=. （2）對一切x∈R，函數(shù)值均非負(fù),∴Δ=8(2a2-a-3)≤0-1≤a≤,∴a+3＞0, ∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a). ∵二次函數(shù)f(a)在上單調(diào)遞減，∴f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4， ∴f(a)的值域?yàn)? 小結(jié)歸納 1．求函數(shù)的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例1），應(yīng)抓住使整個(gè)解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例2），就應(yīng)抓住內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域；三是實(shí)際問題，此時(shí)函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應(yīng)使實(shí)際問題或幾何問題有意義. 2．求函數(shù)的值域沒有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、單調(diào)性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應(yīng)根據(jù)問題的不同特點(diǎn)，綜合而靈活地選擇方法. 第3課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性 基礎(chǔ)過關(guān) 一、單調(diào)性 1．定義：如果函數(shù)y＝f (x)對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、、x2，當(dāng)x1、0). (2) 性質(zhì)： ① ； ② 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； ③ 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，_______＝ 2．指數(shù)： (1) 規(guī)定： ① a0＝ (a≠0)； ② a-p＝ ； ③ . (2) 運(yùn)算性質(zhì)： ① (a>0, r、Q) ② (a>0, r、Q) ③ (a>0, r、Q) 注：上述性質(zhì)對r、R均適用. 3．指數(shù)函數(shù)： ① 定義：函數(shù) 稱為指數(shù)函數(shù)，1) 函數(shù)的定義域?yàn)? ；2) 函數(shù)的值域?yàn)? ；3) 當(dāng)________時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)_______時(shí)為增函數(shù). ② 函數(shù)圖像： 1) 過點(diǎn) ，圖象在 ；2) 指數(shù)函數(shù)以 為漸近線(當(dāng)時(shí)，圖象向 無限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向 無限接近x軸)；3)函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱. ③ 函數(shù)值的變化特征： ① ② ③ ① ② ③ 典型例題 例1. 已知a=,b=9.求： （1） （2）. 解：（1）原式=.［a］= =a. ∵a=，∴原式=3. （2）方法一 化去負(fù)指數(shù)后解. ∵a=∴a+b= 方法二 利用運(yùn)算性質(zhì)解. ∵a=∴a+b= 變式訓(xùn)練1：化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）: （1） （2） 解：（1）原式= （2）原式=- 例2. 函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是 （ ） A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)＞f(cx) D.大小關(guān)系隨x的不同而不同 解：A 變式訓(xùn)練2：已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式，下列五個(gè)關(guān)系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有 （ ） A.1個(gè)  B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 解：B 例3. 求下列函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間： （1）f(x)=3;（2）g(x)=-(. 解：（1）依題意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1, ∴f（x）的定義域是（-∞，1］∪［4，+∞）. 令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞）， ∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1, ∴函數(shù)f(x)的值域是［1，+∞）. ∵u=,∴當(dāng)x∈（-∞，1］時(shí)，u是減函數(shù)， 當(dāng)x∈［4，+∞）時(shí)，u是增函數(shù).而3＞1,∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知， f（x）=3在（-∞，1］上是減函數(shù)，在［4，+∞）上是增函數(shù). 故f（x）的增區(qū)間是［4，+∞），減區(qū)間是（-∞，1］. （2）由g(x)=-( ∴函數(shù)的定義域?yàn)镽，令t=(x (t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9, ∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等號成立的條件是t=2, 即g(x)≤9,等號成立的條件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］. 由g(t)=-(t-2)2+9 (t＞0),而t=(是減函數(shù)，∴要求g(x)的增區(qū)間實(shí)際上是求g(t)的減區(qū)間，求g(x)的減區(qū)間實(shí)際上是求g(t)的增區(qū)間. ∵g（t）在（0，2］上遞增，在［2，+∞）上遞減， 由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1. ∴g（x）在［-1，+∞）上遞減，在（-∞，-1］上遞增， 故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1］，單調(diào)遞減區(qū)間是［-1，+∞）. 變式訓(xùn)練3：求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：（1）y=(;(2)y=2. 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽. 令u=6+x-2x2,則y=(. ∵二次函數(shù)u=6+x-2x2的對稱軸為x=, 在區(qū)間［，+∞）上，u=6+x-2x2是減函數(shù)， 又函數(shù)y=(u是減函數(shù)， ∴函數(shù)y=(在［，+∞）上是增函數(shù). 故y=(單調(diào)遞增區(qū)間為［，+∞）. （2）令u=x2-x-6,則y=2u, ∵二次函數(shù)u=x2-x-6的對稱軸是x=, 在區(qū)間［，+∞）上u=x2-x-6是增函數(shù). 又函數(shù)y=2u為增函數(shù)， ∴函數(shù)y=2在區(qū)間［，+∞）上是增函數(shù). 故函數(shù)y=2的單調(diào)遞增區(qū)間是［，+∞）. 例4．設(shè)a＞0,f(x)=是R上的偶函數(shù). （1）求a的值； （2）求證：f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù). （1）解： ∵f（x）是R上的偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），∴ ∴（a-=0對一切x均成立， ∴a-=0，而a＞0,∴a=1. （2）證明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2, 則f(x1)-f(x2)= +-- = ( ∵x1＜x2,∴有 ∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴＞1, -1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2), 故f(x)在（0,+∞）上是增函數(shù). 變式訓(xùn)練4：已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)=. （1）求f（x)在［-1，1］上的解析式； （2）證明：f(x)在（0，1）上是減函數(shù). （1）解： 當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，-x∈(0,1). ∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=- 由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1), 得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在區(qū)間［-1，1］上，有f（x）= (2)證明 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)= 設(shè)0＜x1＜x2＜1, 則f(x1)-f(x2)= ∵0＜x1＜x2＜1,∴＞0，2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2), 故f(x)在（0，1）上單調(diào)遞減. 小結(jié)歸納 1． ＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算.在運(yùn)算中，根式常常化為指數(shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應(yīng)化為同底. 2．處理指數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解. 3．含有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)的討論問題是重點(diǎn)題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類. 4．含有指數(shù)的較復(fù)雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)(特別是二次函數(shù))形成的 函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要注意知識的相互滲透或綜合. 第6課時(shí) 對數(shù)函數(shù) 基礎(chǔ)過關(guān) 1．對數(shù)： (1) 定義：如果，那么稱 為 ，記作 ，其中稱為對數(shù)的底，N稱為真數(shù). ① 以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，記作___________． ② 以無理數(shù)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，記作_________． (2) 基本性質(zhì)： ① 真數(shù)N為 (負(fù)數(shù)和零無對數(shù))；② ；③ ； ④ 對數(shù)恒等式： ． (3) 運(yùn)算性質(zhì)： ① loga(MN)＝___________________________； ② loga＝____________________________； ③ logaMn＝ (n∈R). ④ 換底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．對數(shù)函數(shù)： ① 定義：函數(shù) 稱為對數(shù)函數(shù)，1) 函數(shù)的定義域?yàn)? ；2) 函數(shù)的值域?yàn)? ；3) 當(dāng)______時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)______時(shí)為增函數(shù)； 4) 函數(shù)與函數(shù) 互為反函數(shù). ② 1) 圖象經(jīng)過點(diǎn)( )，圖象在 ；2) 對數(shù)函數(shù)以 為漸近線(當(dāng)時(shí)，圖象向上無限接近y軸；當(dāng)時(shí)，圖象向下無限接近y軸)； 4) 函數(shù)y＝logax與 的圖象關(guān)于x軸對稱． ③ 函數(shù)值的變化特征： ① ② ③ ① ② ③ 典型例題 例1 計(jì)算：（1） （2）2(lg)2+lglg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一 利用對數(shù)定義求值 設(shè)=x,則(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1. 方法二 利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(25)= lg10=. 變式訓(xùn)練1：化簡求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2lg50+lg25; （3）(log32+log92)(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比較下列各組數(shù)的大小. （1）log3與log5;（2）log1.10.7與log1.20.7; （3）已知logb＜loga＜logc,比較2b,2a,2c的大小關(guān)系. 解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴l(xiāng)og3＜log5. (2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞, ∴, 即由換底公式可得log1.10.7＜log1.20.7. 方法二 作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象. 如圖所示兩圖象與x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7. (3)∵y=為減函數(shù)，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函數(shù)，∴2b＞2a＞2c. 變式訓(xùn)練2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，則loga的大小關(guān)系是 （ ） A.loga B. C. D. 解： C 例3已知函數(shù)f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果對于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 試求a的取值范圍. 解：當(dāng)a＞1時(shí)，對于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上為增函數(shù)， ∴對于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3. 因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3. 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，對于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=logax在［3，+∞）上為減函數(shù)， ∴-f（x）在［3，+∞）上為增函數(shù). ∴對于任意x∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-loga3. 因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞）都成立， 只要-loga3≥1成立即可， ∴l(xiāng)oga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a＜1. 綜上，使|f(x)|≥1對任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范圍是：(1，3］∪［，1）. 變式訓(xùn)練3：已知函數(shù)f（x）=log2(x2-ax-a)在區(qū)間（-∞,1-］上是單調(diào)遞減函數(shù).求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解：令g(x)=x2-ax-a, 則g(x)=（x-）2-a-,由以上知g(x）的圖象關(guān)于直線x=對稱且此拋物線開口向上. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=log2g(x)的底數(shù)2＞1, 在區(qū)間（-∞,1-］上是減函數(shù)， 所以g(x)=x2-ax-a在區(qū)間（-∞,1-］上也是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)＞0. ∴ 解得2-2≤a＜2. 故a的取值范圍是{a|2-2≤a＜2}. 例4 已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B作y軸的平行與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn). （1）證明:點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一直線上； （2）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo). （1）證明 設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2, 由題設(shè)知x1＞1,x2＞1,則點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別為log8x1、log8x2. 因?yàn)锳、B在過點(diǎn)O的直線上，所以 點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2), 由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2, OC的斜率為k1=, OD的斜率為由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直線上. （2）解： 由于BC平行于x軸，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31, 代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1, 又因x1＞1,解得x1=,于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，log8). 變式訓(xùn)練4：已知函數(shù)f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x). （1）求f(x)的定義域； （2）求f(x)的值域. 解：（1）f(x)有意義時(shí)，有 由①、②得x＞1,由③得x＜p,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)榉强諗?shù)集，故p＞1,f(x)的定義域是(1,p). （2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］ =log2［-（x-）2+］ (1＜x＜p), ①當(dāng)1＜＜p，即p＞3時(shí)， 0＜-(x-, ∴l(xiāng)og2≤2log2(p+1)-2. ②當(dāng)≤1，即1＜p≤3時(shí)， ∵0＜-(x- ∴l(xiāng)og2＜1+log2(p-1). 綜合①②可知： 當(dāng)p＞3時(shí)，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］; 當(dāng)1＜p≤3時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)). 小結(jié)歸納 1．處理對數(shù)函數(shù)的有關(guān)問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解. 2．對數(shù)函數(shù)值的變化特點(diǎn)是解決含對數(shù)式問題時(shí)使用頻繁的關(guān)鍵知識，要達(dá)到熟練、運(yùn)用自如的水平，使用時(shí)常常要結(jié)合對數(shù)的特殊值共同分析. 3．含有參數(shù)的指對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點(diǎn)題型，解決這類問題最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類. 4．含有指數(shù)、對數(shù)的較復(fù)雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函