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2019-2020年高一數(shù)學(xué)教案：3.5.1 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念（北師大版必修1） 　　真數(shù)式子沒根號(hào)那就只要求真數(shù)式大于零，如果有根號(hào)，要求真數(shù)大于零還要保證根號(hào)里的式子大于等于零， 　　底數(shù)則要大于0且不為1 　　對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1？ 　　【在一個(gè)普通對(duì)數(shù)式里 a<0,或=1 的時(shí)候是會(huì)有相應(yīng)b的值的。但是，根據(jù)對(duì)數(shù)定義: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實(shí)數(shù)（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根據(jù)定義運(yùn)算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0，那么這個(gè)等式兩邊就不會(huì)成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一個(gè)等于4，另一個(gè)等于-4）】 　　通常我們將以10為底的對(duì)數(shù)叫常用對(duì)數(shù)（mon logarithm),并把log10N記為lgN。另外，在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)（natural logarithm),并且把loge N 記為In N. 根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系： 　　當(dāng)a 〉0，a≠ 1時(shí)，a^x=N→X=logaN。 　　由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的這個(gè)關(guān)系，可以得到關(guān)于對(duì)數(shù)的如下結(jié)論： 　　負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù) 　　loga 1=0 loga a=1(a為常數(shù)) 編輯本段對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì) 　　一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作log(a)（N）=b,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。 　　底數(shù)則要>0且≠1 真數(shù)>0 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 　　當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，M>0,N>0，那么： 　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 　?。?）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R） 　　(4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R) 　?。?）換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1） 　　(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 證明： 　　設(shè)a=n^x則a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（xlog(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a) 　　(7)對(duì)數(shù)恒等式：a^log（a)N=N; 　　log（a）a^b=b 　?。?）由冪的對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得(推導(dǎo)公式) 　　1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M 　　2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M 　　3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M 　　4.log(以 n次根號(hào)下的a 為底)(以 n次根號(hào)下的M 為真數(shù))=log(a)M , 　　log(以 n次根號(hào)下的a 為底)(以 m次根號(hào)下的M 為真數(shù))=(n/m)log(a)M 　　5.log(a)blog(b)clog(c)a=1 對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系 　　當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，a^x=N x=㏒(a)N 編輯本段對(duì)數(shù)函數(shù) 　　右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 　　可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。 　?。?） 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。 　?。?） 對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。 　?。?） 函數(shù)圖像總是通過（1，0）點(diǎn)。 　?。?） a大于1時(shí)，為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸；a大于0小于1時(shí)，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，并且下凹。X k b 1 . c o m 　?。?） 顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無界。 　　對(duì)數(shù)函數(shù)的常用簡(jiǎn)略表達(dá)方式： 　?。?）log(a)(b)=log(a)(b) 　?。?）lg(b)=log(10)(b) 　?。?）ln(b)=log(e)(b) 　　對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)： 　　如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么： 　?。?）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 　?。?）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n屬于R） 　?。?）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n屬于R） 　　對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系 　　當(dāng)a大于0,a不等于1時(shí)，a的X次方=N等價(jià)于log(a)N=x 　　log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n屬于R） 　　換底公式 （很重要） 　　log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga 　　ln 自然對(duì)數(shù) 以e為底 e為無限不循環(huán)小數(shù)(約為2.718281828454590) 　　lg 常用對(duì)數(shù) 以10為底 編輯本段常用簡(jiǎn)略表達(dá)方式 　?。?）常用對(duì)數(shù)：lg(b)=log(10)(b) 　?。?）自然對(duì)數(shù):ln(b)=log(e)(b) 　　e=2.718281828454590...　通常情況下只取e=2.71828　對(duì)數(shù)函數(shù)的定義 　　對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=㏒(a)x，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩函數(shù)互為反函數(shù)），可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定（a>0且a≠1），同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。 　　右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形： 　　可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。 編輯本段性質(zhì)w w w .x k b 1.c o m 　　定義域求解：對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga x 的定義域是{x ︳x>0}，但如果遇到對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域的求解，除了要注意真數(shù)大于0以外，還應(yīng)注意底數(shù)大于0且不等于1，如求函數(shù)y=logx（2x-1）的定義域，需滿足{x>0且x≠1} 。 　　{2x-1>0 ，x>1/2且x≠1}，即其定義域?yàn)?{x ︳x>1/2且x≠1}值域：實(shí)數(shù)集R 　　定點(diǎn)：函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)（1，0）。 　　單調(diào)性：a>1時(shí)，在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，并且上凸 　　 00,a!=1----(log a(x))=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))=1/x*log a(e)特殊地，當(dāng)a=e時(shí)，(log a(x))=(ln x)=1/x。----設(shè)y=a^x兩邊取對(duì)數(shù)ln y=xln a兩邊對(duì)求x導(dǎo)y/y=ln ay=yln a=a^xln a特殊地，當(dāng)a=e時(shí)，y=(a^x)=(e^x)=e^xln e=e^x。