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課時分層作業(yè)(四)　全稱量詞與存在量詞 (建議用時：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、填空題 1．下列命題： ①所有的菱形都是平行四邊形； ②每一個三角形的內(nèi)角和都是180； ③有些偶數(shù)不能被5整除； ④一切平行四邊形的對邊都平行且相等； ⑤至少有一個x，使得2x＞1. 其中是存在性命題的為________(填序號)． [解析]　①②④是全稱命題，③⑤是存在性命題． [答案]?、邰? 2．下列全稱命題中真命題的個數(shù)為________個． ①負(fù)數(shù)沒有對數(shù)； ②對任意的實(shí)數(shù)a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函數(shù)f(x)＝x2－ax－1與x軸恒有交點(diǎn)； ④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. [解析]　容易判斷①②③正確，④中，當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時不成立． [答案]　3 3．用符號“?”或“?”表示下面含有量詞的命題． (1)實(shí)數(shù)的平方大于或等于0：_______； (2)存在一對實(shí)數(shù)，使3x－2y＋1≥0成立：_________. [答案]　(1)?x∈R，x2≥0　(2)?x0，y0∈R,3x0－2y0＋1≥0 4．命題“?x＞0，x2＋x＞0”的否定是________. 【導(dǎo)學(xué)號：71392033】 [解析]　因?yàn)槿Q命題的否定是存在性命題，所以命題“?x＞0，x2＋x＞0”的否定是“?x＞0，x2＋x≤0”． [答案]　?x＞0，x2＋x≤0 5．已知命題p：?x∈N，x2＜4，則非p為________． [解析]　因?yàn)榇嬖谛悦}的否定是全稱命題，所以非p為?x∈N，x2≥4. [答案]　?x∈N，x2≥4 6．對任意x>3，x>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　因?yàn)閤>3時，x>a恒成立，所以a≤3. [答案]　(－∞，3] 7．若命題“?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　由條件知，“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”為真命題，即(a－1)2－4<0，解得－10. 【導(dǎo)學(xué)號：71392034】 [解析]　根據(jù)含有一個量詞的命題的否定知③錯誤． [答案]　③ 二、解答題 9．寫出下列命題的否定并判斷其真假． (1)p：所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除； (2)p：每一個非負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)； (3)p：存在一個三角形，它的內(nèi)角和不等于180； (4)p：有的四邊形沒有外接圓； (5)p：某些梯形的對角線互相平分． [解]　(1)非p：存在一個末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除，假命題． (2)非p：存在一個非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)，真命題． (3)非p：任意三角形的內(nèi)角和都等于180，真命題． (4)非p：所有的四邊形都有外接圓，假命題． (5)非p：所有梯形的對角線都不互相平分，真命題． 10．已知命題p：“至少存在一個實(shí)數(shù)x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”為真，試求參數(shù)a的取值范圍． [解]　法一：由題意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，則只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0. 整理得a＞－3或a＞－2， 即a＞－3.故參數(shù)a的取值范圍為(－3，＋∞)． 法二：非p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0無解， 令f(x)＝x2＋2ax＋2－a， 則即解得a≤－3. 故命題p中，a＞－3. 即參數(shù)a的取值范圍為(－3，＋∞)． [能力提升練] 1．已知命題p：“a＝1”是“?x>0，x＋≥2”的充要條件，命題q：?x∈R，x2＋x－1>0.則下列結(jié)論中正確的是________． ①命題“p且q”是真命題；②命題“p且非q”是真命題；③命題“非p且q”是真命題；④命題“非p或非q”是假命題． [解析]　當(dāng)a＝1時，x>0有x＋≥2成立，取a＝2時x>0有x＋≥2>2，故p是假命題；q是真命題，故①錯誤，②錯誤，③正確，④錯誤． [答案]?、? 2．若命題“?x≥1，x2≥a”的否定為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． [解析]　命題“?x≥1，x2≥a”的否定為“?x≥1，x2＜a”為真命題，所以a∈(1，＋∞)． [答案]　(1，＋∞) 3．給出下列三個結(jié)論： ①若命題p為真命題，命題非q為真命題，則命題“p且q”為真命題； ②命題“若xy＝0，則x＝0或y＝0”的逆否命題為“若xy≠0，則x≠0或y≠0”； ③命題“?x∈R,2x＞0”的否定是“?x∈R,2x≤0”． 則以上結(jié)論正確的命題為________(填序號)． [解析]　非q為真，則q為假，所以p且q為假命題，所以①錯誤；“若xy＝0，則x＝0或y＝0”的逆否命題為“若x≠0且y≠0，則xy≠0”，所以②錯誤；③正確． [答案]?、? 4．設(shè)命題p：?x∈R，x2＋x＞a；命題q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，如果命題p真且命題q假，求a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：71392035】 [解]　∵命題p為真命題， ∴?x∈R，x2＋x＞a； ∵(x2＋x)min＝－，∴a＜－. ∵命題q為假命題，∴?x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0， ∴Δ＝4a2－4(2－a)＜0?a2＋a－2＜0?－2＜a＜1. 綜上，a的取值范圍是.