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2019-2020年人教版高一數(shù)學(xué)必修三第二章2-2-1用樣本的頻率分布估計總體分布（一）《教案》 教材分析 本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學(xué)3 第二章 統(tǒng)計 第二節(jié) 用樣本估計總體 的第一小節(jié)第一課時，是在學(xué)習(xí)了隨機抽樣的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)用圖、表來分析樣本數(shù)據(jù)并用樣本的頻率分布估計總體分布，為后面總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的估計做好知識鋪墊.本節(jié)課的重點是頻率分布表、頻率分布直方圖的繪制，難點是用樣本的頻率分布估計總體分布.通過對樣本分析和總體估計的過程，鍛煉用圖、表分析數(shù)據(jù)的能力和對實際問題決策能力，理解用樣本估計總體的思想，感受數(shù)學(xué)對實際生活的需要，認識到數(shù)學(xué)知識源于生活并指導(dǎo)生活的事實，體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系. 課時分配 本節(jié)內(nèi)容用1課時的時間完成，主要是學(xué)習(xí)繪制頻率分布直方圖和用樣本的頻率分布估計總體分布. 教學(xué)目標 重點: 頻率分布表、頻率分布直方圖的繪制. 難點：用樣本的頻率分布估計總體分布. 知識點：頻率分布表、頻率分布直方圖. 能力點：如何應(yīng)用樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題. 教育點：感受數(shù)學(xué)對實際生活的需要，認識到數(shù)學(xué)知識源于生活并指導(dǎo)生活的事實，體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系. 自主探究點：同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸的單位不同，頻率分布直方圖如何變化. 考試點：頻率分布直方圖的繪制和用樣本的頻率分布估計總體分布. 易錯易混點：頻率分布直方圖中誤將縱軸表示頻率. 拓展點：能用其它圖形對樣本數(shù)據(jù)進行分析嗎. 教具準備 多媒體課件 課堂模式 問題引導(dǎo) 一、引入新課 問題：前面我們主要學(xué)習(xí)了哪些抽樣方法，抽取樣本的目的是什么呢？ 【師生活動】學(xué)生思考后回答. 教師進一步引導(dǎo)：抽取樣本是為從樣本中獲取信息，來估計總體的一些性質(zhì)特點。但是多而雜亂的數(shù)據(jù)，我們往往無法直接從原始數(shù)據(jù)中理解它們所包含的信息。如何借助圖、表、計算來分析數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)所包含的信息轉(zhuǎn)化為直觀、易理解的形式呢？這正是這節(jié)課需研究的問題. 【設(shè)計意圖】 回顧舊知，合理設(shè)置新知識的生長點，以確保新內(nèi)容的自然引入，使學(xué)生對新知識的接受不會覺得太唐突，理解新舊知識的聯(lián)系. 【設(shè)計說明】 留足夠多時間讓學(xué)生鞏固舊知，在此基礎(chǔ)上，進一步用問題引起學(xué)生思考，調(diào)動學(xué)生探究新知積極性. 二、探究新知 教師——我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標準a，用水量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費.如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標準a定為多少比較合理呢？你認為，為了了較為合理地確定出這個標準，需要做哪些工作？ 學(xué)生——為了制定一個較為合理的標準a，必須先了解全市居民日常用水量的分布情況，比如月均用水量在哪個范圍的居民最多，他們占全市居民的百分比情況等.因此采用抽樣調(diào)查的方式，通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計全市居民用水量的分布情況. 【設(shè)計意圖】激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，探索熱情，特別是問題提出，增加了學(xué)生的參與感.讓學(xué)生充分體會數(shù)學(xué)來源于生活，研究統(tǒng)計具有較強的實際意義. 學(xué)生——在教師引導(dǎo)下看課本P66表2-1（其中100位居民某年的月均用水量） 教師——怎樣將樣本數(shù)據(jù)的信息反映出來，可用什么方法？ 學(xué)生——基于初中的統(tǒng)計知識學(xué)生討論后基本上會得到下面結(jié)論：分析樣本數(shù)據(jù)用圖將它們畫出來，用圖反映樣本信息. 教師——分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來，或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式，作圖可以達到兩個目的，（1）是從數(shù)據(jù)中提取信息，（2）是利用圖形傳遞信息.表格則是通過改變數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式，為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式. 【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生思考如何對樣本數(shù)據(jù)進行分析，為頻率分布直方圖的學(xué)習(xí)做好準備. 教師——下面我們學(xué)習(xí)的頻率分布表和頻率分布圖，則是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.可以讓我們更清楚的看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況. 頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.其一般步驟為： （1） 求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)：知道這組數(shù)據(jù)的變動范圍4.3-0.2=4.1 （2）決定組距與組數(shù) 組數(shù)：一般情況下，當樣本容量不超過100時，按照數(shù)據(jù)的多少，一般分成5—12組 組距：指每個小組的兩個端點的距離，這組數(shù)據(jù)我們確定組距為0.5 （對于本組數(shù)據(jù)我們分9組) （3）將數(shù)據(jù)分組：［0，0.5 )，［0.5，1 )，…，［4，4.5］ （4）列頻率分布表（見課本P67） (5）畫頻率分布直方圖 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 頻率/組距 【設(shè)計意圖】通過師生共同分析、列表、作圖，讓學(xué)生掌握頻率分布表、頻率分布直方圖的畫法步驟，并體會圖、表的各自特點 問題一：每個小正方形的面積表示什么？ 問題二：所有小正方形的面積和是多少？ 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生注意縱坐標不是頻率，而是頻率/組距，在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，頻率之和等于1 探究：同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸的單位不同，得到的圖和形狀也會不同.不同的形狀給人以不同的印象，這種印象有時會影響我們對總體的判斷，分別以0.1和1為組距重新作圖，然后談?wù)勀銓D的印象？ 結(jié)論：分組數(shù)的變化可以引起頻率分布表和頻率分布直方圖的結(jié)構(gòu)變化；坐標系的單位長度的變化只能引起頻率分布直方圖的形狀沿坐標軸方向的拉伸變化. 【設(shè)計意圖】深入理解頻率分布表、頻率分布直方圖的畫法，同時體會到統(tǒng)計結(jié)果隨機性、科學(xué)性，能作為總體的分布的合理性. 思考一：如果當?shù)卣Ｍ?5%以上的居民每月的用水量不超出標準，根據(jù)頻率分布表2-2和頻率分布直方圖2.2-1，（見課本P67）你能對制定月用水量標準提出建議嗎？（標準可為3t） 思考二：你認為3噸這個標準一定能夠保證85%以上的居民用水量不超過標準嗎?如果不一定那么哪些環(huán)節(jié)可能會導(dǎo)致結(jié)論的差別？(可能出現(xiàn)偏差) 【設(shè)計意圖】從實際問題出發(fā)，再回到實際問題的決策，前后呼應(yīng)，使學(xué)生真正體會數(shù)據(jù)處理的全過程、統(tǒng)計應(yīng)用于現(xiàn)實生活的全過程，體會這一“方法”對決策者的重要，使學(xué)生有一種身臨其境之感，體會到學(xué)好數(shù)學(xué)也是一種“責任”. 三、理解新知 頻率分布直方圖的特征：（1）從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢，（2）從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了. 總體分布指的是總體取值的頻率分布規(guī)律，由于總體分布不易知道，因此我們往往通過頻率分布直方圖用樣本的頻率分布去估計總體分布. 【設(shè)計意圖】掌握頻率分布直方圖與原始樣本數(shù)據(jù)的關(guān)系，認識頻率分布直方圖分析樣本數(shù)據(jù)的優(yōu)勢和缺點，理解用樣本的頻率分布估計總體分布的思想. 四、運用新知 例1下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身高(單位ｃｍ) (1)列出樣本頻率分布表﹔ (2)一畫出頻率分布直方圖; (3)估計身高小于134ｃｍ的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比. 分析：根據(jù)樣本頻率分布表、頻率分布直方圖的一般步驟解題. 解：（１）樣本頻率分布表如下： 122 126 130 134 138 142 146 150 158 154 身高（cm） o 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 頻率/組距 （２）其頻率分布直方圖如下： （3）由樣本頻率分布表可知身高小于134cm 的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+0.07+0.08=0.19，所以我們估計身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%. 90 100 110 120 130 140 150 次數(shù) o 0.004 0.008 0.012 0.016 0.020 0.024 0.028 頻率/組距 0.032 0.036 【設(shè)計意圖】通過學(xué)生的自我實踐，讓學(xué)生掌握繪制頻率分布表、頻率分布直方圖的方法步驟，并會用樣本的頻率分布估計總體分布. 例2 為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12. (1) 第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？ (2) 若次數(shù)在110以上（含110次）為達標，試估計該學(xué)校全體高一學(xué)生的達標率是多少？ (3) 在這次測試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)？請說明理由. 分析：在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1. 解：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落 在各小組內(nèi)的頻率大小， 因此第二小組的頻率為： 又因為頻率= 所以 （2）由圖可估計該學(xué)校高一學(xué)生的達標率約為 （3）由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6，12，51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi). 【設(shè)計意圖】綜合運用頻數(shù)、樣本容量、頻率、小長方形面積關(guān)系解題，注意小長方形面積和為1，加深用樣本的頻率分布估計總體思想的理解與應(yīng)用. 五、課堂小結(jié) 讓學(xué)生回顧討論，總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容： 1．知識：頻率分布表、頻率分布直方圖的繪制. 2．思想：用樣本估計總體的思想. 教師總結(jié): 掌握繪制頻率分布直方圖的步驟，注意縱軸表示頻率/組距，小長方形面積表頻率.優(yōu)點是能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布形狀，能看到在分布表中看不清楚的一些數(shù)據(jù)模式.缺點是可以大致估計出總體的分布情況，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.體會到統(tǒng)計結(jié)果隨機性、科學(xué)性，能作為總體的分布的合理性 【設(shè)計意圖】 培養(yǎng)學(xué)生及時梳理，系統(tǒng)總結(jié)新學(xué)知識和方法的習(xí)慣，既從整體上把握知識方法，又分清重難點，形成良好的知識結(jié)構(gòu). 六、布置作業(yè) 1．閱讀教材P66—68； 2.書面作業(yè) 必做題： P81 習(xí)題2.2 A組 2 選做題：1.在抽查某產(chǎn)品的尺寸過程中，將其尺寸分成若干組，是其中一組，抽查出的個體數(shù)在該組上的頻率為，該組上的直方圖的高為，則等于 （ ） 與無關(guān) 2. 為了了解學(xué)生身體的發(fā)育情況，對某重點中學(xué)年滿17歲的60名同學(xué)的身高進行了測量，結(jié)果如下（單位：ｍ） 身高 1.57 1.59 1.60 1.62 1.64 1.65 1.66 1.68 1.69 人數(shù) 2 1 4 2 4 2 7 6 8 身高 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 人數(shù) 7 4 3 2 1 2 1 1 （Ⅰ）根據(jù)上表，估計這所重點中學(xué)年滿17歲的男同學(xué)中，身高不低于1.65ｍ且不高于1.71ｍ的約占多少？不低于1.63ｍ的約占多少？ （Ⅱ）畫出頻率分布直方圖，說出該校年滿17歲的男同學(xué)中身高在哪個范圍內(nèi)的人數(shù)所占比例最大？如果該校年滿17歲的男同學(xué)恰好是300人，那么在這個范圍內(nèi)的人數(shù)估計約有多少人？ 3．課外思考 能用其它圖形對樣本數(shù)據(jù)進行分析嗎. 【設(shè)計意圖】通過學(xué)生閱讀和書面作業(yè)讓學(xué)生進一步掌握繪制頻率分布表、頻率分布直方圖的步驟，會用樣本的頻率分布估計總體分布；課外思考的安排，是引起學(xué)生發(fā)散思考，為后面頻率分布折線圖、莖葉圖的學(xué)習(xí)做好準備. 七、教后反思 1.本教案的亮點是新知的探究，讓學(xué)生參與到教學(xué)的過程中，體驗數(shù)據(jù)處理、信息分析、到最后進行決策等統(tǒng)計思維的整個過程，使學(xué)生始終保持較高的學(xué)習(xí)積極性. 2. 建議教師在使用本教案時多媒體展示與動手演示作圖過程靈活結(jié)合，兼顧效率與效果. 3. 本節(jié)課的弱項是由于知識內(nèi)容多，沒能留給學(xué)生較多時間動手作圖,暴露操作中的各種不足. 八、板書設(shè)計 ２.2.1用樣本的頻率分布估計總體分布（1） 一、 復(fù)習(xí)引入 二、 探究新知 1.頻率分布直方圖作法 2.頻率分布直方圖理解 問題一 問題二 3. 探究同樣一組數(shù)據(jù)，頻率分布直方圖不同結(jié)構(gòu)變化 三、運用新知 例1 例2 四、小結(jié) 五、布置作業(yè)