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2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二2.3.1《直線與平面垂直的判定》word教案 一、教材分析 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應用較多，而且是空間問題平面化的典范.空間中直線與平面的垂直問題是連接線線垂直和面面垂直的橋梁和紐帶，可以說線面垂直是立體幾何的核心.本節(jié)重點是直線與平面垂直的判定定理的應用. 二、教學目標 1．知識與技能 （1）使學生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理； （2）使學生掌握直線和平面所成的角求法； （3）培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎(chǔ)上學會歸納、概括結(jié)論. 2．過程與方法 （1）通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過程； （2）探究判定直線與平面垂直的方法. 3．情態(tài)、態(tài)度與價值觀 培養(yǎng)學生學會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知. 三、教學重點與難點 教學重點:直線與平面垂直的判定. 教學難點:靈活應用直線與平面垂直判定定理解決問題. 四、課時安排 1課時 五、教學設(shè)計 （一）導入新課 思路1.(情境導入) 日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認識，比如，旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系等，都給我們以直線與平面垂直的印象. 在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子.隨著時間的變化，盡管影子BC的位置在移動，但是旗桿AB所在直線始終與BC所在直線垂直.也就是說，旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點B的直線B′C′也是垂直的. 思路2.(事例導入) 如果一條直線垂直于一個平面的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？舉例說明. 如圖1，直線AC1與直線BD、EF、GH等無數(shù)條直線垂直，但直線AC1與平面ABCD不垂直. 圖1 （二）推進新課、新知探究、提出問題 ①探究直線與平面垂直的定義和畫法. ②探究直線與平面垂直的判定定理. ③用三種語言描述直線與平面垂直的判定定理. ④探究斜線在平面內(nèi)的射影，討論直線與平面所成的角. ⑤探究點到平面的距離. 活動:問題①引導學生結(jié)合事例觀察探究. 問題②引導學生結(jié)合事例實驗探究. 問題③引導學生進行語言轉(zhuǎn)換. 問題④引導學生思考其合理性. 問題⑤引導學生回憶點到直線的距離得出點到平面的距離. 討論結(jié)果：①直線與平面垂直的定義和畫法： 教師演示實例并指出書脊（想象成一條直線）、各書頁與桌面的交線，由于書脊和書頁底邊（即與桌面接觸的一邊）垂直，得出書脊和桌面上所有直線都垂直，書脊和桌面的位置關(guān)系給了我們直線和平面垂直的形象.從而引入概念：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說這條直線和這個平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.過一點有且只有一條直線和一個平面垂直；過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.平面的垂線和平面一定相交，交點叫做垂足.直線和平面垂直的畫法及表示如下： 如圖2，表示方法為：a⊥α. 圖2 圖3 ②如圖3,請同學們準備一塊三角形的紙片，我們一起做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD,DC與桌面接觸）. (1)折痕AD與桌面垂直嗎？ (2)如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面α垂直？ 容易發(fā)現(xiàn)，當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在的平面α垂直. 如圖4. (1) (2) 圖4 所以，當折痕AD垂直平面內(nèi)的一條直線時，折痕AD與平面α不垂直，當折痕AD垂直平面內(nèi)的兩條直線時，折痕AD與平面α垂直. ③直線和平面垂直的判定定理用文字語言表示為： 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面. 直線和平面垂直的判定定理用符號語言表示為：l⊥α. 直線和平面垂直的判定定理用圖形語言表示為：如圖5, 圖5 圖6 ④斜線在平面內(nèi)的射影. 斜線：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直時，這條直線就叫做這個平面的斜線. 斜足：斜線和平面的交點. 斜線在平面內(nèi)的射影：從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影. 直線與平面相交，直線與平面的相互位置類同于兩條相交直線，也需要用角來表示，但過交點在平面內(nèi)可以作很多條直線.與平面相交的直線l與平面內(nèi)的線a、b…所成的角是不相等的.為了定義的確定性，我們必須找到一些角中有確定值的，又能準確描述其位置的一個角，這就是由斜線與其在平面內(nèi)的射影所成的銳角作為直線和平面所成的角. 平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角. 特別地：如果一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角為直角. 一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角為0.如圖6，l是平面α的一條斜線，點O是斜足，A是l上任意一點，AB是α的垂線，點B是垂足，所以直線OB（記作l′）是l在α內(nèi)的射影，∠AOB（記作θ）是l與α所成的角. 直線和平面所成的角是一個非常重要的概念，在實際中有著廣泛的應用，如發(fā)射炮彈時，當炮筒和地面所成的角為多少度時，才能準確地命中目標，也即射程為多遠？又如鉛球運動員在投擲時，以多大的角度投擲，投出的距離最遠？ ⑤點到平面的距離:經(jīng)過一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面內(nèi)的射影，點在平面內(nèi)的射影還是一個點. 垂線段：上述的點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段. 點到平面的距離：垂線段的長叫做點到平面的距離. （三）應用示例 思路1 例1 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面. 解：已知a∥b，a⊥α.求證：b⊥α. 圖7 證明：如圖7,在平面α內(nèi)作兩條相交直線m、n，設(shè)m∩n=A. ************ 變式訓練 如圖8,已知點P為平面ABC外一點，PA⊥BC，PC⊥AB，求證：PB⊥AC. 圖8 證明：過P作PO⊥平面ABC于O，連接OA、OB、OC. ∵PO⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴PO⊥BC. 又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO. 又∵OA平面PAO，∴BC⊥OA. 同理,可證AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心. ∴OB⊥AC.可證PO⊥AC. ∴AC⊥平面PBO. 又PB平面PBO，∴PB⊥AC. 點評：欲證線面垂直需要轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，欲證線線垂直往往轉(zhuǎn)化為線面垂直.用符號語言證明問題顯得清晰、簡潔. 例2 如圖9,在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角. 圖9 活動：先讓學生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路. 解：連接BC1交B1C于點O，連接A1O. 設(shè)正方體的棱長為a， 因為A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以A1B1⊥平面BCC1B1. 所以A1B1⊥BC1. 又因為BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1CD. 所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為直線A1B與平面A1B1CD所成的角. 在Rt△A1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,∠BA1O=30. 因此,直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30. 變式訓練 如圖10，四面體A—BCD的棱長都相等，Q是AD的中點，求CQ與平面DBC所成的角的正弦值. 圖10 解：過A作AO⊥面BCD，連接OD、OB、OC，則可證O是△BCD的中心, 作QP⊥OD, ∵QP∥AO,∴QP⊥面BCD. 連接CP，則∠QCP即為所求的角. 設(shè)四面體的棱長為a， ∵在正△ACD中，Q是AD的中點,∴CQ=. ∵QP∥AO，Q是AD的中點, ∴QP=，得 sin∠QCP=. 點評：求直線與平面所成的角，是本節(jié)的又一重點，作線面角的關(guān)鍵是找出平面的垂線. 思路2 例1 （xx山東高考,文20）如圖11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC. (1) （1）求證：D1C⊥AC1； （2）設(shè)E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由. （1）證明：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中， 連接C1D，如圖11(2). (2) ∵DC=DD1， ∴四邊形DCC1D1是正方形. ∴DC1⊥D1C. 又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1=D, ∴AD⊥平面DCC1D1，D1C平面DCC1D1. ∴AD⊥D1C. ∵AD、DC1平面ADC1，且AD∩DC1=D, ∴D1C⊥平面ADC1. 又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1. (2)解：連接AD1、AE，如圖11(3). (3) 圖11 設(shè)AD1∩A1D=M, BD∩AE=N,連接MN， ∵平面AD1E∩平面A1BD=MN， 要使D1E∥平面A1BD， 需使MN∥D1E， 又M是AD1的中點， ∴N是AE的中點. 又易知△ABN≌△EDN， ∴AB=DE, 即E是DC的中點. 綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E∥平面A1BD. 變式訓練 如圖12，在正方體ABCD—A1B1C1D1，G為CC1的中點，O為底面ABCD的中心. 求證：A1O⊥平面GBD. 圖12 證明：BD⊥A1O. 又∵A1O2=A1A2+AO2=a2+()2=,OG2=OC2+CG2=()2+()2=, A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=, ∴A1O2+OG2=A1G2. ∴A1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A1O⊥平面GBD. 點評：判斷線面垂直往往轉(zhuǎn)化為線線垂直，勾股定理也是證明線線垂直的重要方法. 例2 如圖13，ABCD為正方形，過A作線段SA⊥面ABCD，又過A作與SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求證：E、H分別是點A在直線SB和SD上的射影. 圖13 證明：∵SA⊥BC, 又∵AB⊥BC,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE. ∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE. 又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC. ∴AE⊥SB,即E為A在SB上的射影.同理可證,H是點A在SD上的射影. 變式訓練 已知Rt△ABC的斜邊BC在平面α內(nèi)，兩直角邊AB、AC與α都斜交，點A在平面α內(nèi)的射影是點A′，求證：∠BA′C是鈍角. 證明：如圖14，過A作AD⊥BC于D，連接A′D， 圖14 ∵AA′⊥α，BCα，∴AA′⊥BC. ∴BC⊥A′D. ∵tan∠BAD=＜tan∠BA′D=，tan∠CAD=＜tan∠CA′D=， ∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D. ∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C是鈍角. （四）知能訓練 如圖15，已知a、b是兩條相互垂直的異面直線，線段AB與兩異面直線a、b垂直且相交，線段AB的長為定值m，定長為n（n＞m）的線段PQ的兩個端點分別在a、b上移動，M、N分別是AB、PQ的中點. 圖15 求證：（1）AB⊥MN； （2）MN的長是定值. 證明：(1)取PB中點H,連接HN,則HN∥b. 又∵AB⊥b,∴AB⊥HN. 同理,AB⊥MH. ∴AB⊥平面MNH.∴AB⊥MN. (2)∵b⊥平面PAB.∴b⊥PB. 在Rt△PBQ中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2, ① 在Rt△PBA中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2, ② ①②兩式相加PA2+BQ2=n2-m2,∵a⊥b,∴∠MHN=90. ∴MN=(定值). （五）拓展提升 1.如圖16，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,點D是AB的中點. 圖16 （1）求證：AC⊥BC1; （2）求證：AC1∥平面CDB1； （1）證明：∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4, ∴△ABC為直角三角形.∴AC⊥CB. 又∵CC1⊥面ABC,AC面ABC,∴AC⊥CC1. ∴AC⊥面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,∴AC⊥BC1. （2）證明：連接B1C交BC1于E，則E為BC1的中點，連接DE,則在△ABC1中,DE∥AC1. 又DE面CDB1,則AC1∥面B1CD. （六）課堂小結(jié) 知識總結(jié)：利用面面垂直的性質(zhì)定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等. 思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. （七）作業(yè) 課本習題2.2 B組3、4.