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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)選修1-1教案：2-2-2 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 2.2.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì) （共 1 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 知識與技能：通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并能根據(jù)幾何性質(zhì)解決一些簡單的問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納、推理等能力。 過程與方法：掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會方程與曲線的對應(yīng)關(guān)系，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。 教學(xué)重、 難點(diǎn) 重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用． 難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解． 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 (一)復(fù)習(xí)提問 1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ (二)幾何性質(zhì) 根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一。 1、范圍 即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=a和直線y=b所圍成的矩形里，注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時(shí)，就不能取范圍以外的點(diǎn)． 2．對稱性 先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2． 設(shè)問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時(shí)換成-x、-y時(shí)，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對稱的” 呢？ 事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x，y)在曲線上時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱．類似可以證明其他兩個(gè)命題． 同時(shí)向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點(diǎn)對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱．如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對稱，那么它一定關(guān)于y軸對稱． 事實(shí)上，設(shè)P(x，y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)P1(x，-y)必在曲線上．又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以P1關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱． 最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心即橢圓中心． 3．頂點(diǎn) 只須令x=0，得y=b，點(diǎn)B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y=0，得x=a，點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．強(qiáng)調(diào)指出：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a， 0)、B1(0，-b)、B2(0，b)． 教師還需指出： (1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b； (2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長； 這時(shí)，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形． 4．離心率 教師直接給出橢圓的離心率的定義： 等到介紹橢圓的第二定義時(shí)，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1． 再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響： (2)當(dāng)e接近0時(shí)，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓； (3)當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了． (三)應(yīng)用 為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識，掌握用描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1． 例、求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形． 本例前一部分請一個(gè)同學(xué)板演，教師予以訂正，估計(jì)不難完成．后一部分由教師講解，以引起學(xué)生重視，步驟是： (2)描點(diǎn)作圖．先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個(gè)橢圓(圖2-19)．要強(qiáng)調(diào)：利用對稱性可以使計(jì)算量大大減少． 板書設(shè)計(jì) 2.2.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 1、范圍 |x|≤a，|y|≤b． 2．對稱性 同時(shí)x軸、y軸和原點(diǎn)對稱． 3．頂點(diǎn) 橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)． (1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b； (2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長； 4．離心率 0＜e＜1． (2)當(dāng)e接近0時(shí)，橢圓接近圓； (3)當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了． 教學(xué)反思 1.讓學(xué)生討論，由圖形和方程研究橢圓有哪幾種對稱性？ 2.由離心率的定義如何說明離心率和橢圓扁圓程度的關(guān)系，并給出結(jié)論。