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綜合檢測
時間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．設全集I＝{x|－3
0.
答案：D
3．下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|
解析：偶函數的有C、D兩項，當x>0時，y＝lg |x|單調遞增，故選C.
答案：C
4．設x0是方程ln x＋x＝4的解，則x0屬于區(qū)間( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：設f(x)＝ln x＋x－4，則有f(1)＝ln 1＋1－4＝－3<0.f(2)＝ln 2＋2－4＝
ln 2－2<1－2＝－1<0，f(3)＝ln 3＋3－4＝ln 3－1>1－1＝0.
∴x0∈(2,3)．
答案：C
5．3log34－27－lg 0.01＋ln e3＝( )
A．14 B．0
C．1 D．6
解析：原式＝4－－lg 0.01＋3＝7－－lg 10－2＝9－9＝0.
答案：B
6．若y＝log3x的反函數是y＝g(x)，則g(－1)＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：由題設可知g(x)＝3x，∴g(－1)＝3－1＝.
答案：C
7．若實數x，y滿足|x|－ln＝0，則y關于x的函數的圖象大致是( )
解析：由|x|＝ln，則y＝.
答案：B
8．已知f(x)＝logx，g(x)＝2x－1，則函數y＝f(x)－g(x)的零點個數為( )
A．0 B．1
C．2 D．不確定
解析：在同一坐標系中作函數f(x)，g(x)的圖象(圖略)，從而判斷兩函數交點個數．
答案：B
9．函數f(x)＝－的零點的個數為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：函數的定義域為{x|x≠1}，
當x>1時f(x)<0，當x<1時f(x)>0，所以函數沒有零點，故選A.
答案：A
10．某新品牌電視投放市場后第1個月銷售100臺，第2個月銷售200臺，第3個月銷售400臺，第4個月銷售700臺，則下列函數模型中能較好地反映銷量y與投放市場月數x之間的關系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝502x D．y＝100log2x＋100
解析：代入驗證即可．
答案：B
11．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上滿足f(－6)>1，f(6)<1，則方程f(x)＝1在[－6,6]內的解的個數為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：設g(x)＝f(x)－1，則由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，
即g(－6)g(6)<0.
因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一個零點．
由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，
易知當a>0時g(x)單調遞增；
當a<0時，g(x)單調遞減，
即函數g(x)為單調函數，故g(x)僅有一個零點．
因此方程f(x)＝1僅有一個根．故選A.
答案：A
12．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單價：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為( )
A．45.666萬元 B．45.6萬元
C．45.56萬元 D．45.51萬元
解析：設在甲地銷售x輛，在乙地則銷售(15－x)輛，
∴總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)
∴當x＝10時，S有最大值45.6萬元．
答案：B
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)
13．已知f(x)是定義在R上的偶函數，且當x>0時，f(x)＝2x－3，
則f(－2)＝________.
解析：∵f(x)為定義在R上的偶函數，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(－2)＝f(2)＝22－3＝1.
答案：1
14．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}至多有一個元素，則a的取值范圍為________．
解析：集合A有為?和A中只有一個元素兩種情況，
a＝0時，A＝{}滿足題意，
a≠0時，則由Δ＝9－8a≤0得a≥.
答案：a≥或a＝0
15．用二分法求方程ln x＝在[1,2]上的近似解時，取中點c＝1.5，則下一個有根區(qū)間為________．
解析：令f(x)＝ln x－，則f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln e>0，
f(1.5)＝f()＝ln－＝ln－ln e
e＝>，∴l(xiāng)n e>ln，即f(1.5)<0.
∴下一個有根區(qū)間為(1.5,2)．
答案：(1.5,2)
16. 給出下列四個命題：
①a>0且a≠1時函數y＝logaax與函數y＝alogax表示同一個函數．
②奇函數的圖象一定通過直角坐標系的原點．
③函數y＝3(x－1)2的圖象可由y＝3x2的圖象向右平移1個單位得到．
④若函數f(x)的定義域為[0,2]，則函數f(2x)定義域為[0,4]．
其中正確命題的序號是________(填上所有正確命題的序號)
解析：①兩函數定義域不同，y＝logaax定義域為R，y＝alogax定義域(0，＋∞)．
②如果函數在x＝0處沒有定義，圖象就不過原點，如y＝.
③正確．
④f(x)定義域[0,2]∴f(2x)定義域0≤2x≤2即0≤x≤1，
∴f(2x)定義域為[0,1]．
答案：③
三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)已知A＝{x|x2＋2x－8＝0}，
B＝{x|log2(x2－5x＋8)＝1}，
C＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}．
若A∩C＝?，B∩C≠?，求a的值．
解析：A＝{2，－4}，B＝{2,3}，
由A∩C＝?知2?C，－4?C，
又由B∩C≠?知3∈C，
∴32－3a＋a2－19＝0解得a＝－2或a＝5，
當a＝－2時，C＝{3，－5}，滿足A∩C＝?，
當a＝5時，C＝{3,2}，A∩C＝{2}≠?，(舍去)，
∴a＝－2.
18．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為實數，a≠0，x∈R)
(1)當函數f(x)的圖象過點(－1,0)，且方程f(x)＝0有且只有一個根，求f(x)的表達式．
(2)在(1)的條件下，當x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函數，求實數k的取值范圍．
解析：(1)因為f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0
因為方程f(x)＝0有且只有一個根，
∴Δ＝b2－4a＝0，
∴b2－4(b－1)＝0，
即b＝2，a＝1，
∴f(x)＝(x＋1)2.
(2)∵g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx
＝x2－(k－2)x＋1
＝(x－)2＋1－
∴當≥2或≤－2時
即k≥6或k≤－2時，g(x)是單調函數．
19．(本小題滿分12分)已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數，
且對任意x，y∈(0，＋∞)，都有f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)＋f≤2.
解析：(1)∵f(x)是(0，＋∞)上的增函數，且對任意x，y∈(0，＋∞)，都有f ＝f(x)－f(y)，
∴f(1)＝f()＝f(1)－f(1)＝0.
(2)若f(6)＝1，
則f(x＋3)＋f ≤2＝1＋1＝f(6)＋f(6)，
∴f(x＋3)－f(6)≤f (6)－f ，
即f ≤f(6x)，
∴0＜≤6x，
解得x≥.
∴原不等式的解集為{x|x≥}．
20．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數，且f()＝.
(1)求實數m，n的值；
(2)用定義證明f(x)在(－1,1)上為增函數；
(3)解關于t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.
解析：(1)∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
∴n＝0.
又∵f＝＝，
∴m＝1.
(2)由(1)得，f(x)＝.
設－10,1＋x>0,1＋x>0，
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x)在(－1,1)上為增函數．
(3)∵f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數，
由f(t－1)＋f(t)<0，得f(t)<－f(t－1)＝f(1－t)．
又∵f(x)在(－1,1)上為增函數，
∴
解得010)，則此時第一次服進的藥已吸收完，血液中含藥量為第二、三次的和，
即－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4.
解得t3＝13.5小時，故第四次服藥應在20：30.
22．(本小題滿分13分)已知函數f(x)定義域為[－1,1]，若對于任意的x，y∈[－1,1]，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0時，有f(x)>0，
(1)證明： f(x)為奇函數；
(2)證明：f(x)在[－1,1]上是增加的．
(3)設f(1)＝1，若f(x)0，
∴f(x)在[－1,1]上是增加的．
(3)f(x)在[－1,1]上是增加的，f(x)max＝f(1)＝1，使f(x)1，即m－2am＋1>0，
令g(a)＝m－2am＋1＝－2am＋m＋1，
要使g(a)>0時，a∈[－1,1]恒成立，
則即
∴－
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