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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)選修1-1教案：3-3-2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 （共 2 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.理解極大值、極小值的概念； 2.能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來(lái)求函數(shù)的極值； 3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)極大、極小值概念的理解及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 一、導(dǎo)入新課： 觀察圖3.3-8，我們發(fā)現(xiàn)，時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面高度最大．那么，函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖像有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律？ 放大附近函數(shù)的圖像，如圖3.3-9．可以看出；在，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，；這就說(shuō)明，在附近，函數(shù)值先增（，）后減（，）．這樣，當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過(guò)時(shí)，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有． 對(duì)于一般的函數(shù)，是否也有這樣的性質(zhì)呢？ 附：對(duì)極大、極小值概念的理解，可以結(jié)合圖象進(jìn)行說(shuō)明.并且要說(shuō)明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法.判斷極值點(diǎn)的關(guān)鍵是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào) 二、講授新課： 1．問(wèn)題：圖3.3-1（1），它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像． 運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過(guò)觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)： （1） 運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度隨時(shí)間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，． （2） 從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度隨時(shí)間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，． 2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系． 如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 說(shuō)明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)． 3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： （1）確定函數(shù)的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù)； （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間； （4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間． 三．典例分析 例1．（課本例4）求的極值 解： 因?yàn)?，所? 。 下面分兩種情況討論： （1）當(dāng)>0,即，或時(shí)； （2）當(dāng)<0,即時(shí). 當(dāng)x變化時(shí)， ，的變化情況如下表： -2 (-2,2) 2 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為； 當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為。 函數(shù)的圖像如圖所示。 例2求y=(x2－1)3+1的極值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 － 0 － 0 + 0 + ↘ 無(wú)極值 ↘ 極小值0 ↗ 無(wú)極值 ↗ ∴當(dāng)x=0時(shí)，y有極小值且y極小值=0 1.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點(diǎn) 2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＞f(x0).就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點(diǎn) 3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值注意以下幾點(diǎn)： （ⅰ）極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè) （ⅲ）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，而> （ⅳ）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn) 而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn) 4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法: 若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值 5. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值 如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn) 四、鞏固練習(xí)： 1．求下列函數(shù)的極值. (1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x (1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7 令y′=0，解得x=. 當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表. － 0 + ↘ 極小值 ↗ ∴當(dāng)x=時(shí)，y有極小值，且y極小值=－. (2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表. -3 (-3,3) 3 + 0 － 0 + ↗ 極大值54 ↘ 極小值-54 ↗ ∴當(dāng)x=－3時(shí)，y有極大值，且y極大值=54. 當(dāng)x=3時(shí)，y有極小值，且y極小值=－54 課堂小結(jié)： 函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的三個(gè)步驟.還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在整個(gè)定義區(qū)間可能有多個(gè)極值，且要在這點(diǎn)處連續(xù).可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，要看這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號(hào).函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn) 布置作業(yè)： P98—99 4,5 板書設(shè)計(jì) 3. 3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 1. 極大值與極小值的概念 2. 判別f(x0)是極大、極小值的方法 3. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值。 例1、例2 教學(xué)反思 在給出極值概念后，要比較、區(qū)分極值與最值的關(guān)系與區(qū)別，求極值時(shí)一定要學(xué)生注意判斷在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的兩側(cè)的符號(hào)，只有導(dǎo)函數(shù)異號(hào)時(shí)，相的點(diǎn)才是極值點(diǎn)。 利用導(dǎo)數(shù)求極值是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用，要補(bǔ)充一定量的練習(xí)讓學(xué)生熟練掌握。對(duì)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn)不做要求。