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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修1-2）3.1《數(shù)系的擴(kuò)充》word教案2篇 一、數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 　　1．復(fù)數(shù)的引入：回想數(shù)系的每一次擴(kuò)充都主要來(lái)自?xún)蓚€(gè)方面：一方面數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要；另一方面由于實(shí)際的需要.而復(fù)數(shù)的引入屬于前者 　　我們知道，方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，于是需引入新數(shù)i使方程有解，顯然，需要 　　數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程：自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集． 　　2．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：由實(shí)數(shù)的運(yùn)算類(lèi)似地得到新數(shù)i可以同實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘運(yùn)算，于是得到：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，并且把的這一表現(xiàn)形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中的a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部．注意復(fù)數(shù)的虛部是，而不是． 　　3．復(fù)數(shù)相等的充要條件 　　且 　　注意事項(xiàng)： 　?。?）復(fù)數(shù) 　?。?）復(fù)數(shù)集 　?。?）兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但兩個(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，則不能比較大小. 二、復(fù)數(shù)的幾何意義 　　1．復(fù)數(shù)可以用平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)來(lái)唯一表示，于是： 　　復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)系中的點(diǎn)集，可以建立一一對(duì)應(yīng)． 　　2．建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是１，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0．于是有下面的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)． 　　3．由于平面向量與坐標(biāo)平面的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，于是有： 　　復(fù)數(shù)平面向量． 　　在這些意義下，我們就可以把復(fù)數(shù)說(shuō)成點(diǎn)或向量，這給研究復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義帶來(lái)了方便． 　　4．復(fù)數(shù)的模就是這個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模，復(fù)數(shù)的模為． 　　三、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 　　1．復(fù)數(shù)的加法、減法 　?、龠\(yùn)算法則． 　　其運(yùn)算法則類(lèi)似于多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng) ②復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律 　　對(duì)于任意的，有： 　　交換律：． 　　結(jié)合律：． 　?、蹚?fù)數(shù)加法的幾何意義 　　設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形（三角形）法則，則有（如圖1）． 　　由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：，即得與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)． 　　可見(jiàn)，復(fù)數(shù)的加法可以按向量加法的法則進(jìn)行． 　?、軓?fù)數(shù)減法的幾何意義 　　設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)（如圖2）， 　　根據(jù)向量加法的三角形法則有：． 　　于是：． 　　由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：，即得與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)． 　　于是得到向量的減法運(yùn)算法則為：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差與連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量相對(duì)應(yīng)． 　　2．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算 　?、龠\(yùn)算法則：． 　　兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘類(lèi)似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只是把換為，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可． 　?、谶\(yùn)算律：交換律：． 　　結(jié)合律：． 　　分配律：． 　?、厶摂?shù)i的乘方及其規(guī)律：，，，，，，，，． 　　可見(jiàn)，，，，，即具有周期性且最小正周期為4． 　?、芄曹棌?fù)數(shù) 　　與互為共軛復(fù)數(shù)，即當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)． 　　它的幾何意義是：共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．主要用于復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算. 　　3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算 　　運(yùn)算法則： 　　其實(shí)質(zhì)是分母“實(shí)數(shù)化”，即分子以及分母同乘以分母的“實(shí)數(shù)化”因式．類(lèi)似于以前所學(xué)的把分母“有理化”． 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)習(xí)指導(dǎo) 『教材重點(diǎn)』：１．復(fù)數(shù)的相等，復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)以及虛數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的幾何意義；２．復(fù)數(shù)的加減、乘除運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義；３．體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法－類(lèi)比法． 　　　　　『教材難點(diǎn)』：復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)加法以及復(fù)數(shù)減法的幾何意義，復(fù)數(shù)的除法． 　『復(fù)習(xí)過(guò)程指導(dǎo)』 在復(fù)習(xí)本章時(shí)，我們重點(diǎn)從數(shù)學(xué)思想方法上勾通知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系：(1)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、有理數(shù)的聯(lián)系；（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算與平面向量的加法、減法運(yùn)算的聯(lián)系；（3）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加法、減法、乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式的加法、減法、乘法運(yùn)算的聯(lián)系． 在知識(shí)上，在學(xué)法上，在思想方法上要使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，以增強(qiáng)記憶，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)邏輯思維能力．其數(shù)學(xué)思想方法（類(lèi)比法、化一般為特殊法）網(wǎng)絡(luò)如下： 　　　　　 多項(xiàng)式運(yùn)算 類(lèi)比 復(fù)數(shù) 轉(zhuǎn) 化 運(yùn)算 　類(lèi)比 向量 運(yùn)算 實(shí)數(shù) 運(yùn)算 類(lèi)比 數(shù)軸上向量運(yùn)算 轉(zhuǎn)化 有理數(shù) 運(yùn)算 　　　一．?dāng)?shù)學(xué)思想方法總結(jié) 1數(shù)學(xué)思想方法之一：類(lèi)比法 ?。?）復(fù)數(shù)的運(yùn)算 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算法則 　　　　　　 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算運(yùn)算法則： 　　　　　　 顯然在運(yùn)算法則上類(lèi)似于多項(xiàng)式的加減法（合并同類(lèi)項(xiàng)），以及多項(xiàng)式的乘法，這就給我們對(duì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及記憶帶來(lái)了極大的方便． （2）復(fù)數(shù)的幾何意義 我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的；有序?qū)崝?shù)對(duì)與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；類(lèi)似的我們有： 復(fù)數(shù)集C＝與坐標(biāo)系中的點(diǎn)集一一對(duì)應(yīng)．于是： 復(fù)數(shù)集＝復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 　　　　　　復(fù)數(shù)集＝平面向量 例1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)＋(1＋i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 位于　( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 解答：復(fù)數(shù)＋(1＋i)2＝ 　　　＝ 因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)著直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)， 　　　　　故在第二象限，答案為B． 　　　　此題一方面考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算能力，另一方面考察了對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義的理解． 例2．非零復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)向量，若= 則向量與的關(guān)系必有（ ） A ．= B． C ． D．共線(xiàn) 圖１ A B C 解答： 由向量的加法及減法可知： 　　　　?。? 　　　　　　?。?　　　　 由復(fù)數(shù)加法以及減法的幾何意義可知： 　對(duì)應(yīng)的模 　對(duì)應(yīng)的模 　　　　　　又因?yàn)?，且非零復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)向量　 　　　　　　所以四邊形OACB是正方形 　　　　　　因此，故答案選B． 　　注：此題主要考察了復(fù)數(shù)加法以及減法的幾何意義 （3）復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn) 虛數(shù)除法運(yùn)算的分母“實(shí)數(shù)化”，類(lèi)似的有實(shí)數(shù)運(yùn)算的分母“有理化”． 例３若復(fù)數(shù)（∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 （A）-2 　 　 (B)4 　　(C) -6 　 (D)6 解答：由＝＝ ＝　 　因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù) 　　　　所以且 　　　　解得 　　　　故答案選C． 　　注：這里在復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)中主要用了一對(duì)共軛復(fù)數(shù)的積是實(shí)數(shù)＝５，一般地（）（）＝ 　　這也是一個(gè)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，即是純虛數(shù)可得：且 2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法之二　　轉(zhuǎn)化法 　　　　　我們知道在運(yùn)算上，高次方程要轉(zhuǎn)化為低次方程，多元方程要轉(zhuǎn)化為一元方程進(jìn)行運(yùn)算；實(shí)數(shù)的運(yùn)算要轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的運(yùn)算；類(lèi)似地，有關(guān)虛數(shù)的運(yùn)算要轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算． 　　　　　基礎(chǔ)知識(shí)：復(fù)數(shù) 例４若 , ，且為純虛數(shù)，則 實(shí)數(shù)a的值為 ． 　解答：＝＝ 因?yàn)闉榧兲摂?shù) 所以且．解得 　　　例５．設(shè)、、、，若為實(shí)數(shù)，則， （A）（B） （C）（D） 　解答：　由　　 　　　因?yàn)?為實(shí)數(shù)， 　　　所以其虛部，即 　　　故答案選C． 這里先把分母“實(shí)數(shù)化”，即分子以及分母同乘以分母的“實(shí)數(shù)化”因式． 類(lèi)似于以前所學(xué)的實(shí)數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)的把分母“有理化”．再把它轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算． 　　二．解題規(guī)律總結(jié) 　　?。庇嘘P(guān)虛數(shù)單位的運(yùn)算及拓展 虛數(shù)的乘方及其規(guī)律：，＝－１，，，……（） 拓展（1）任何相鄰四個(gè)數(shù)的和為０； 　?。?）指數(shù)成等差的四個(gè)數(shù)的和為０；　 例如：＝０ 　　　　　　　?。?）連續(xù)多個(gè)數(shù)相加的規(guī)律．　 　　　　　　　 例6．求…的值 　　　　　解答：共有xx－10＋１＝１997項(xiàng) 　　　　　　由于1997＝4499＋1 　　　　　　由于連續(xù)4個(gè)的和等于0 　　　　　　因此原式＝＝－ 　2．有關(guān)復(fù)數(shù)的幾個(gè)常用化簡(jiǎn)式 ，， 例7．　　　?。ā　。? A．　　B．－　　C．　　D．－ 　　　解答： 　　　　　故答案選A 　　　　　　3．有關(guān)復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算 　　　　　例７、（本題滿(mǎn)分12分）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程（為虛數(shù)單位） 　　解法一．設(shè)，則 　　　由于 　　?。剑? 所以＝ 　　　根據(jù)復(fù)數(shù)的相等得 　　　解得 　　　因此，即為所求． 　　　　　　　解題評(píng)注：（1）設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式（）以代入法解題的一種基本而常用的方法；（2）復(fù)數(shù)的相等（＝　?。┦菍?shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算的重要方法．這兩種方法必須切實(shí)掌握； 　　　　　三．高考命題趨勢(shì) 　從新教材的特點(diǎn)來(lái)看，高考題的難度不會(huì)大，主要以客觀(guān)題的形式考察基礎(chǔ)知識(shí)．以上結(jié)合高考題給出了復(fù)習(xí)的方法，以及重點(diǎn)難點(diǎn)，希望同學(xué)們結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)全面的掌握所學(xué)知識(shí)．