2018-2019版高中數(shù)學 第三章 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式試題 新人教A版選修4-5.doc
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二 一般形式的柯西不等式 課后篇鞏固探究 A組 1.已知a,b,c均大于0,A=a2+b2+c23,B=a+b+c3,則A,B的大小關系是( ) A.A>B B.A≥B C.A0, 所以a2+b2+c23≥a+b+c3. 答案B 2.若x2+y2+z2=1,則x+y+2z 的最大值等于( ) A.2 B.4 C.2 D.8 解析由柯西不等式,可得[12+12+(2)2](x2+y2+z2)≥(x+y+2z)2,即(x+y+2z)2≤4,因此x+y+2z≤2 當且僅當x=y=z2,即x=12,y=12,z=22時,等號成立 ,即x+y+2z的最大值等于2. 答案A 3.已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,則a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析∵(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a12+a22+…+an2)(x12+x22+…+xn2)=11=1,∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1. 答案A 4.設a,b,c均為正數(shù)且a+b+c=9,則4a+9b+16c的最小值為( ) A.81 B.49 C.9 D.7 解析由柯西不等式,可得4a+9b+16c=19(a+b+c)4a+9b+16c≥19a2a+b3b+c4c2=1981=9,當且僅當a2=b3=c4,即a=2,b=3,c=4時,等號成立,故所求最小值為9. 答案C 5.已知x,y是實數(shù),則x2+y2+(1-x-y)2的最小值是 ( ) A.16 B.13 C.6 D.3 解析由柯西不等式,得 (12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2] ≥[x+y+(1-x-y)]2=1, 即x2+y2+(1-x-y)2≥13, 當且僅當x=y=1-x-y,即x=y=13時,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值13. 答案B 6.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,則4a+1+4b+1+4c+1的最大值為 . 解析由柯西不等式,得(4a+1+4b+1+4c+1)2 =(14a+1+14b+1+14c+1)2 ≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1) =3[4(a+b+c)+3]=21. 當且僅當a=b=c=13時,取等號. 故4a+1+4b+1+4c+1的最大值為21. 答案21 7.設a,b,c是正實數(shù),且a+b+c=9,則2a+2b+2c的最小值為 . 解析因為(a+b+c)2a+2b+2c =[(a)2+(b)2+(c)2]2a2+2b2+ 2c2≥a2a+b2b+c2c2=18, 所以2a+2b+2c≥2 當且僅當a2=b2=c2,即a=b=c=3時,等號成立 ,故2a+2b+2c的最小值為2. 答案2 8.設a,b,c,x,y,z都是正數(shù),且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,則a+b+cx+y+z= . 解析由柯西不等式知2536=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302=2536,當且僅當ax=by=cz=k時,等號成立. 由k2(x2+y2+z2)2=2536,解得k=56, 所以a+b+cx+y+z=k=56. 答案56 9.已知a+b+c=1,且a,b,c是正數(shù),求證2a+b+2b+c+2c+a≥9. 證明左邊=[2(a+b+c)]1a+b+1b+c+1c+a=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]1a+b+1b+c+1c+a≥(1+1+1)2=9.當且僅當a=b=c=13時,等號成立,故原不等式成立. 10.已知x,y,z∈R,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值. 解由柯西不等式,得[x+(-2)y+(-3)z]2≤[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2),即(x-2y-3z)2≤14(x2+y2+z2),所以16≤14(x2+y2+z2). 因此x2+y2+z2≥87,當且僅當x=y-2=z-3,即當x=27,y=-47,z=-67時,x2+y2+z2的最小值為87. B組 1.已知x2+y2+z2=1,則x+2y+2z的最大值為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析由柯西不等式,得 (x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9, 所以-3≤x+2y+2z≤3. 當且僅當|x|=y2=z2時,等號成立. 所以x+2y+2z的最大值為3. 答案C 2.導學號26394054已知a,b,c為正實數(shù),且a+2b+3c=9,則3a+2b+c的最大值等于( ) A.39 B.13 C.13 D.18 解析3a+2b+c=3a+2b+133c≤3+1+13(a+2b+3c)=39 當且僅當a3=2b1=3c13時,等號成立 ,故最大值為39. 答案A 3.設a,b,c為正數(shù),則(a+b+c)4a+9b+36c的最小值是 . 解析(a+b+c)4a+9b+36c =[(a)2+(b)2+(c)2]2a2+3b2+6c2 ≥a2a+b3b+c6c2=(2+3+6)2=121. 當且僅當a2=b3=c6時,等號成立. 答案121 4.設x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,則(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值為 . 解析2x+2y+z+8=0?2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9. 考慮以下兩組向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(uv)2≤|u|2|v|2,即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥(-9)29=9,當且僅當x=-1,y=-4,z=2時,等號成立,此時取得最小值9. 答案9 5.導學號26394055已知x1,x2,x3,x4為實數(shù),且x1+x2+x3+x4=6,x12+x22+x32+x42=12,求證0≤xi≤3(i=1,2,3,4). 證明由柯西不等式,得 (x2+x3+x4)2≤(1+1+1)(x22+x32+x42), 由題設條件,得 x2+x3+x4=6-x1,x22+x32+x42=12-x12, 代入上式,得(6-x1)2≤3(12-x12), ∴36-12x1+x12≤36-3x12, ∴4x12-12x1≤0,∴0≤x1≤3, 同理可證0≤xi≤3(i=2,3,4). 綜上所述,0≤xi≤3(i=1,2,3,4). 6.導學號26394056設實數(shù)a,b,c,d,e滿足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,試確定e的最大值. 解由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化簡,得5e2-16e≤0?0≤e≤165,故emax=165.
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