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大題精做10 圓錐曲線：定點、定值問題 [2019甘肅聯(lián)考]已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線的斜率為， 且原點到直線的距離為． （1）求橢圓的標準方程； （2）若不經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點，且與圓相切． 試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題可知，，，則， 直線的方程為，即，所以， 解得，， 又，所以橢圓的標準方程為． （2）因為直線與圓相切， 所以，即． 設(shè)，，聯(lián)立，得， 所以， ，， 所以． 又，所以． 因為，同理． 所以， 所以的周長是， 則的周長為定值． 1．[2019安慶期末]已知橢圓過點，焦距長，過點的直線交橢圓于，兩點． （1）求橢圓的方程； （2）已知點，求證：為定值． 2．[2019東莞期末]已知橢圓的中心在坐標原點，左右焦點分別為和，且橢圓經(jīng)過點． （1）求橢圓的標準方程； （2）過橢圓的右頂點作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓交于點，（均異于點）， 求證：直線過定點，并求出該定點的坐標． 3．[2019漳州一模]已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，且橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，離心率為． （1）求橢圓的標準方程； （2）過橢圓的右焦點且斜率存在的直線交橢圓于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，證明：為定值．  1．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由條件焦距為，知，從而將代入方程， 可得，，故橢圓方程為． （2）當直線的斜率不為0時，設(shè)直線交橢圓于，， 由，可得， ，，，， ， 化簡得， 當直線斜率為0時，，，， 即證為定值，且為． 2．【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）設(shè)橢圓的標準方程為， ，， ∴，∴，∴， 所以橢圓的標準方程為． （2）①直線斜率存在，設(shè)直線，，， 聯(lián)立方程，消去得， ，， ，又， 由，得， 即，∴， ∴， ∴．解得，，且均滿足， 當時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾； 當時，直線的方程為，直線過定點． ②由橢圓的對稱性所得，當直線，的傾斜角分別為，，易得直線， ，直線，分別與橢圓交于點，， 此時直線斜率不存在，也過定點， 綜上所述，直線恒過定點． 3．【答案】（1）；（2）詳見解析． 【解析】解法一：（1）設(shè)橢圓的標準方程為， 由拋物線的焦點為，得，① 又，② 由①②及，解得， 所以橢圓的標準方程為． （2）依題意設(shè)直線的方程為， 設(shè)點，，當時，聯(lián)立方程， 得，， 所以，，的中點坐標為， 的垂直平分線為， 令，得，， 又，所以， 當時，點與原點重合，則，，所以； 綜上所述，為定值． 解法二： （1）同解法一． （2）依題意，當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為， 設(shè)點，，聯(lián)立方程，得， 所以， ，， ， ， 所以的中點坐標為， 的垂直平分線為， 令，得，所以，所以； 當直線的斜率為0時，點與原點重合，則，，所以； 綜上所述，為定值．