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6.2.2 間接證明：反證法
一、基礎達標
1．反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是
( )
①與已知條件矛盾 ②與假設矛盾?、叟c定義、公理、定理矛盾?、芘c事實矛盾
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
答案 D
2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為
( )
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線
答案 C
解析 假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應選C.
3．有下列敘述：①“a>b”的反面是“a
y或x0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，試證“數列{xn}對任意的正整數n都滿足xn>xn＋1”，當此題用反證法否定結論時應為
( )
A．對任意的正整數n，有xn＝xn＋1
B．存在正整數n，使xn＝xn＋1
C．存在正整數n，使xn≥xn＋1
D．存在正整數n，使xn≤xn＋1
答案 D
解析 “任意”的反語是“存在一個”．
9．設a，b，c都是正數，則三個數a＋，b＋，c＋
( )
A．都大于2
B．至少有一個大于2
C．至少有一個不小于2
D．至少有一個不大于2
答案 C
解析 假設a＋<2，b＋<2，c＋<2，
則＋＋<6.
又＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，這與假設得到的不等式相矛盾，從而假設不正確，所以這三個數至少有一個不小于2.
10．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數a的取值范圍是________．
答案 a≤－2或a≥－1
解析 若兩方程均無實根，則Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，
∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－20，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證a>0，b>0，c>0.
證明 用反證法：
假設a，b，c不都是正數，由abc>0可知，這三個數中必有兩個為負數，一個為正數，
不妨設a<0，b<0，c>0，則由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，
這與已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假設不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
12．已知a，b，c∈(0,1)，求證(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
證明 假設三個式子同時大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>，
①
又因為0
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2017-2018學年高中數學
第六章
推理與證明
6.2
直接證明與間接證明
6.2.2
間接證明：反證法分層訓練
湘教版選修2-2
2017
2018
學年
高中數學
第六
推理
證明
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