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2019-2020年人教B版必修3高中數(shù)學3.3.1《幾何概型》word教學案 ☆學習目標：1. 了解幾何概型的概念及基本特點； 2. 掌握幾何概型中概率的計算公式； 3. 會進行簡單的幾何概率計算． ?知識情境： 1. 基本事件的概念: 一個事件如果 事件，就稱作基本事件. 基本事件的兩個特點: 10.任何兩個基本事件是 的； 20.任何一個事件(除不可能事件)都可以 . 2. 古典概型的定義：古典概型有兩個特征： 10.試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件 ； 20.各基本事件的出現(xiàn)是 ，即它們發(fā)生的概率相同． 具有這兩個特征的概率稱為古典概率模型. 簡稱古典概型. 3. 古典概型的概率公式, 設一試驗有n個等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m個 基本事件，則事件A的概率P(A)定義為： 。 ?問題情境： 試驗１．取一根長度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷． 試驗２．射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán).從外向內(nèi)為白色,黑色,藍色,紅色,靶心是金色． 奧運會的比賽靶面直徑為，靶心直徑為．運動員在外射箭． 假設射箭都能射中靶面內(nèi)任何一點都是等可能的． 問題：對于試驗１：剪得兩段的長都不小于的概率有多大？ 試驗２：射中黃心的概率為多少？ 3.分析： 試驗１中,從每一位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為的繩上的任意一點． 試驗2中,射中靶面上每一點都是一個基本事件,點可以是靶面直徑為的圓內(nèi)的任一點． 在這兩個問題中，雖然類似于古典概型的＂等可能性＂,但是基本事件有無限多個， 顯然不能用古典概型的方法求解．那么, 怎么求解? ①考慮第一個問題，記事件＂剪得兩段的長都不小于＂． 把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時， 事件發(fā)生．由于中間一段的長度等于繩長的 ， 于是事件發(fā)生的概率．　　　　　　　　　　　 ②第二個問題，記事件＂射中黃心＂為， 由于中靶心隨機地落在面積為的大圓內(nèi)， 而當中靶點落在面積為的黃心內(nèi)時，事件發(fā)生， 于是事件發(fā)生的概率． ☆新知生成： 1.幾何概型的概念：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū) 域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā) 生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點．這里的區(qū)域可以是線段， 平面圖形，立體圖形等．用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型． 2.幾何概型的基本特點： （１）試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個； （２）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 3.幾何概型的概率公式：在區(qū)域中隨機地取一點, 記事件＂該點落在其內(nèi)部一個區(qū) 域內(nèi)＂，則事件發(fā)生的概率 = ． 說明：（１）的測度不為； （２）其中＂測度＂的意義依確定，當分別是線段,平面圖形,立體圖形時， 相應的＂測度＂分別是長度，面積和體積． （３） 區(qū)域內(nèi)隨機取點是指：該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何 部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關． 例2 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時一班， 求此人等車時間不多于10分鐘的概率． 例3 在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油， 假設在海域中任意一點鉆探，鉆到油層面的概率是多少？ 例4 在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子，從中隨機取出10毫升， 則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？ 參考答案: 1. 隨機事件的概念 （1）必然事件：每一次試驗都一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件； （2）不可能事件：任何一次試驗都不可能出現(xiàn)的事件，叫不可能事件； （3）隨機事件:隨機試驗的每一結果或隨機現(xiàn)象的每一種表現(xiàn)叫的隨機事件,簡稱為事件. 2.基本事件的概念: 一個事件如果不能再被分解為兩個或兩個以上事件，就稱作基本事件. 基本事件的兩個特點: 10.任何兩個基本事件是互斥的； 20.任何一個事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 古典概型有兩個特征： 10.試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個； 20.各基本事件的出現(xiàn)是等可能的，即它們發(fā)生的概率相同． P（A）= 考慮第一個問題，記＂剪得兩段的長都不小于＂為事件．把繩子三等分，于是當剪 斷位置處在中間一段上時，事件發(fā)生．由于中間一段的長度等于繩長的， 于是事件發(fā)生的概率．　 第二個問題，記＂射中黃心＂為事件,因中靶心隨機地落在面積為的大圓內(nèi)， 而當中靶點落在面積為的黃心內(nèi)時，事件發(fā)生， 于是事件發(fā)生的概率． 例1 分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型則是在試 驗中出現(xiàn)無限多個結果，且與事件的區(qū)域長度有關。 解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結果有66=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型； （2）游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰 影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長度有關，因此屬于幾何概型． 例2 分析：假設他在0～60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻,不能用古典概型公式計算隨機事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因為客車每小時一班,他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的,所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合幾何概型的條件. 解:設A={等待的時間不多于10分鐘},我們所關心的事件A恰好是到站等車的時刻位于[50,60]這一時間段內(nèi),因此由幾何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等車時間不多于10分鐘的概率為． 小結：在本例中，到站等車的時刻X是隨機的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從[0,60]上的均勻分布，X為[0,60]上的均勻隨機數(shù)． 例3 分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的, 而40平方千米可看作構成事件的區(qū)域面積，由幾何概型公式可以求得概率。 解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A)= ==0.004． 答：鉆到油層面的概率是0.004． 例4 分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機的，取得的10毫克種子可視作構成事件的區(qū)域，1升種子可視作試驗的所有結果構成的區(qū)域，可用“體積比”公式計算其概率。 解：取出10毫升種子，其中“含有病種子”這一事件記為A，則 P(A)= ==0.01． 答：取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.01．