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幾何概型 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為( ) A. 710 B. 58 C. 38 D. 310 （正確答案）B ? 【分析】 本題考查概率的計算，考查幾何概型，考查學生的計算能力，比較基礎． 求出一名行人前25秒來到該路口遇到紅燈，即可求出至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率． 【解答】 解：∵紅燈持續(xù)時間為40秒，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈， ∴一名行人前25秒來到該路口遇到紅燈， ∴至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為2540=58． 故選B． 2. 在區(qū)間[-1,4]上隨機選取一個數(shù)x，則x≤1的概率為( ) A. 25 B. 35 C. 15 D. 23 （正確答案）A 解：∵在區(qū)間[-1,4]上隨機選取一個數(shù)x， ∴x≤1的概率P=1-(-1)4-(-1)=25， 故選：A． 根據(jù)幾何概型的概率公式進行求解即可． 本題主要考查概率的計算，根據(jù)幾何概型的概率公式轉化為求對應長度之比是解決本題的關鍵． 3. 已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3，若在區(qū)間[-4,4]上取一個隨機數(shù)x0，則f(x0)≤0的概率是 ( ) A. 34 B. 58 C. 12 D. 38 （正確答案）C 令-x2+2x+3=0可得x=-1或x=3，則x0∈［-4，-1］或x0∈［3，4］時，f(x0)≤0． 所求概率為38+18=12 4. 如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則( ) A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 （正確答案）A 解：如圖：設BC=a，AB=c，AC=b， ∴a2=b2+c2， ∴SⅠ=124bc=2bc，SⅢ=12πa2-2bc， SⅡ=12πc2+12πb2-SⅢ=12πc2+12πb2-12πa2+2bc=2bc， ∴SⅠ=SⅡ， ∴P1=P2， 故選：A． 如圖：設BC=a，AB=c，AC=b，分別求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所對應的面積，即可得到答案． 本題考查了幾何概型的概率問題，關鍵是求出對應的面積，屬于基礎題． 5. 如圖所示，在△ABC內隨機選取一點P，則△PBC的面積不超過△ABC面積一半的概率是( ) A. 12 B. 14 C. 13 D. 34 （正確答案）D 解：記事件A={△PBC的面積不超過S2}， 基本事件空間是三角形ABC的面積，(如圖) 事件A的幾何度量為圖中陰影部分的面積(DE是三角形的中位線)， 因為陰影部分的面積是整個三角形面積的34， 所以P(A)=34， 故選：D 先分析題目求在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積不超過S2的概率，即可考慮畫圖求解的方法，然后根據(jù)圖形分析出基本的事件空間與事件的幾何度量是什么.再根據(jù)幾何關系求解出它們的比例即可． 本題主要考查了幾何概型.由這個題目可以看出，解決有關幾何概型的問題的關鍵是認清基本事件空間是指面積還是長度或體積，同學們需要注意． 6. 已知菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=π6，若在菱形內取一點，則該點到菱形的四個頂點的距離均大于1的概率為( ) A. π4 B. 1-π4 C. π8 D. 1-π8 （正確答案）D 解：分別以A，B，C，D為圓心，1為半徑的圓， 則所以概率對應的面積為陰影部分， 則四個圓在菱形內的扇形夾角之和為2π， 則對應的四個扇形之和的面積為一個整圓的面積S=π12=π， ∵S菱形ABCD=AB?BCsinπ6=4412=8， ∴S陰影=S菱形ABCD-S空白=8-π12=8-π． 因此，該點到四個頂點的距離大于1的概率P=S陰影S菱形=8-π8=1-π8， 故選：D． 根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應區(qū)域的面積進行求解即可． 本題主要考查幾何概型的概率的計算，根據(jù)對應分別求出對應區(qū)域的面積是解決本題的關鍵． 7. 甲、乙兩位同學約定周日早上8：00-8：30在學校門口見面，已知他們到達學校的時間是隨機的，則甲要等乙至少10分鐘才能見面的概率為( ) A. 23 B. 13 C. 29 D. 79 （正確答案）C 解：由題意知本題是一個幾何概型， 試驗包含的所有事件是Ω={(x,y)|0≤x≤30，0≤y≤30} 事件對應的集合表示的面積是s=900， 滿足條件的事件是A={(x,y)|0≤x≤30，0≤y≤30，y-x≥10}，事件對應的集合表示的面積是122020=200， 根據(jù)幾何概型概率公式得到P=29． 故選C． 由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是Ω={(x,y)|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出事件對應的集合表示的面積，寫出滿足條件的事件是A={(x,y)|0≤x≤30，0≤y≤30，y-x≥10}，算出事件對應的集合表示的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結果． 本題是一個幾何概型，對于這樣的問題，一般要通過把試驗發(fā)生包含的事件所對應的區(qū)域求出，根據(jù)集合對應的圖形面積，用面積的比值得到結果． 8. 在區(qū)間[0,2]上隨機取一個實數(shù)x，若事件“3x-m<0”發(fā)生的概率為16，則實數(shù)m=( ) A. 1 B. 12 C. 13 D. 16 （正確答案）A 解：解不等式3x-m<0，可得x0時的概率( ) A. 132 B. 932 C. 3132 D. 2332 （正確答案）B 【分析】 本題主要考查幾何概型.如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗的結果不是有限個.本題利用幾何概型求解即可.在a-o-b坐標系中，畫出f(1)>0對應的區(qū)域，和a、b都是在區(qū)間[0,4]內表示的區(qū)域，計算它們的比值即得． 【解答】 解：f(1)=-1+a-b>0，即a-b>1， 如圖，A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)， S△ABC=92，P=9244=932， 故選B． 11. 如圖，正方形ABCD內的圖形來自寶馬汽車車標的里面部分，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形對邊中點連線成軸對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是( ) A. 14 B. 12 C. π8 D. π4 （正確答案）C 解：設正方形邊長為2，則正方形面積為4， 正方形內切圓中的黑色部分的面積S=12π12=π2． ∴在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是P=π24=π8． 故選：C． 設出正方形邊長，求出正方形面積，再求出正方形內切圓中的黑色部分的面積，由面積比得答案． 本題考查幾何概型，關鍵是明確測度比為面積比，是基礎題． 12. 在區(qū)間[0,2]上隨機取一個實數(shù)x，則事件“3x-1<0”發(fā)生的概率為( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 16 （正確答案）D 解：由幾何概型可知，事件“3x-1<0”可得x<13， ∴在區(qū)間[0,2]上隨機取一個實數(shù)x，則事件“3x-1<0”發(fā)生的概率為： P(3x-1<0)=132=16． 故選：D． 利用幾何概型求概率.先解不等式，再利用解得的區(qū)間長度與區(qū)間[0,2]的長度求比值即得． 本題主要考查了幾何概型，簡單地說，如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)=x2，若在矩形ABCD 內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于______ ． （正確答案）512 解：由已知，矩形的面積為4(2-1)=4， 陰影部分的面積為12(4-x2)dx=(4x-13x3)|?12=53， 由幾何概型公式可得此點取自陰影部分的概率等于512； 故答案為：512． 分別求出矩形和陰影部分的面積，利用幾何概型公式，解答． 本題考查了定積分求曲邊梯形的面積以及幾何概型的運用；關鍵是求出陰影部分的面積，利用幾何概型公式解答． 14. 設點(a,b)是區(qū)域x-y+1≥00≤x≤1y≥0內的隨機點，則滿足a2+b2≤1的概率是______． （正確答案）π6 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖： 當x=1時，y=2，即B(1,2)，A(1,0)，C(0,1)， 則四邊形OABC的面積S=1+221=32， 則第一象限內對應a2+b2≤1的面積為14π， ∴根據(jù)幾何概型的概率公式可得滿足a2+b2≤1的概率是π432=π6， 故答案為：π6 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式進行計算即可得到結論． 本題主要考查幾何概型的概率的計算，求出對應的區(qū)域面積是解決本題的關鍵． 15. 已知|x|≤2，|y|≤2，點P的坐標為(x,y)，當x，y∈R時，點P滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率為______． （正確答案）π16 解：如圖，點P所在的區(qū)域為正方形ABCD及其內部 滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的點位于的區(qū)域是 以C(2,2)為圓心，半徑等于2的圓及其內部 ∴P滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率為 P1=S扇形S正方形=14?π?2244=π16． 故答案為：π16 根據(jù)題意，滿足|x|≤2且|y|≤2的點P在如圖的正方形ABCD及其內部運動，而滿足(x-2)2+(y-2)2≤4的點P在以C為圓心且半徑為2的圓及其內部運動.因此，所求概率等于圓C與正方形ABCD重疊部分扇形面積與正方形ABCD的面積之比，根據(jù)扇形面積和正方形面積計算公式，即可求出本題的概率． 本題給出點P滿足的條件，求點P到點C(2,2)距離小于或等于2的概率.著重考查了正方形、扇形面積計算公式和幾何概型計算公式等知識，屬于基礎題． 16. 已知水池的長為30m，寬為20m，一海豚在水池中自由游戲，則海豚嘴尖離池邊超過4m的概率為______． （正確答案）1125 【分析】 本題考查幾何概型，明確測度，正確求解面積是關鍵.測度為面積，找出點離岸邊不超過4m的點對應的圖形的面積，并將其和長方形面積一齊代入幾何概型計算公式進行求解． 【解答】 解：如圖所示： 長方形面積為2030，小長方形面積為2212， 陰影部分的面積為2030-2212， ∴海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率為P=1-22122030=1125． 故答案為1125． 三、解答題（本大題共3小題，共40分） 17. 設關于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0． (1)若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率． (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率． （正確答案）解：設事件A為“方程有實根”． 當a>0，b>0時，方程有實根的充要條件為a≥b (1)由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的基本事件共12個： (0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1)(3,2) 其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值． 事件A中包含9個基本事件， ∴事件A發(fā)生的概率為P=912=34 (2)由題意知本題是一個幾何概型， 試驗的全部結束所構成的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2} 滿足條件的構成事件A的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b} ∴所求的概率是32-122232=23 首先分析一元二次方程有實根的條件，得到a≥b (1)本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的基本事件可以通過列舉得到結果數(shù)，滿足條件的事件在前面列舉的基礎上得到結果數(shù)，求得概率． (2)本題是一個幾何概型，試驗的全部結束所構成的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，滿足條件的構成事件A的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)概率等于面積之比，得到概率． 本題考查古典概型及其概率公式，考查幾何概型及其概率公式，本題把兩種概率放在一個題目中進行對比，得到兩種概率的共同之處和不同點． 18. 如圖，扇形AOB的圓心角為90°，點P在弦AB上，且OP=2AP，延長OP交弧AB于點C，現(xiàn)向該扇形內隨機投一點，則該點落在扇形AOC內的概率為______． （正確答案）13 解：設AP=x，OP=2x，由正弦定理可求得， sin∠AOP=APsin∠OAPOP=2222=12，所以∠POA=30°， 所以扇形AOC的面積為1314πOA2，扇形AOB的面積為14πOA2， 從而所求概率為1314πOA214πOA2=13． 故答案為：13． 求出扇形AOC的面積，扇形AOB的面積，從而得到所求概率． 本題主要考查幾何概型，正確求出扇形的面積是關鍵． 19. 某市小型機動車駕照“科二”考試中共有5項考查項目，分別記作①，②，③，④，⑤． 項目 學員編號 ① ② ③ ④ ⑤ (1) T T T (2) T T T (3) T T T T (4) T T T (5) T T T T (6) T T T (7) T T T T (8) T T T T T (9) T T T (10) T T T T T 注“T”表示合格，空白表示不合格 (1)某教練將所帶10名學員的“科二”模擬考試成績進行統(tǒng)計(如表所示)，并打算從恰有2項成績不合格的學員中任意抽出2人進行補測(只測不合格的項目)，求補測項目種類不超過3項的概率； (2)如圖，某次模擬演練中，教練要求學員甲倒車并轉向90°，在汽車邊緣不壓射線AC與射線BD的前提下，將汽車駛入指定的停車位.根據(jù)經(jīng)驗，學員甲轉向90°后可使車尾邊緣完全落在線段CD上，且位于CD內各處的機會相等.若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽車寬度為1.8m，求學員甲能按教練要求完成任務的概率． （正確答案）解：(1)由題意得共有5名學員(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有2兩項成績不合格，從中任意抽取2人進行補測，共有10種情況： 學員編號 補測項目 項數(shù) (1)(2) ②③⑤ 3 (1)(4) ②③④⑤ 4 (1)(6) ③④⑤ 3 (1)(9) ①③⑤ 3 (2)(4) ②④⑤ 3 (2)(6) ②③④⑤ 4 (2)(9) ①②⑤ 3 (4)(6) ②③④ 3 (4)(9) ①②④⑤ 4 (6)(9) ①③④⑤ 4 由表格可知全部的10種情況中有6種情況補測項目不超過3項， ∴補測項目不超過3項的概率為P=610=35； (2)在線段CD上取兩點B，D，使得BB=DD=1.8m， 記汽車尾部左端點為M，則當M位于線段AB上時，學員可按教練要求完成任務． ∴學員甲能按要求完成任務的概率為 ． (1)利用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值； (2)利用幾何概型的概率公式，計算所求的概率值． 本題考查了列舉法求古典概型的概率和幾何概型的概率計算問題，是中檔題．