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2019-2020年高三數(shù)學第三輪復習 第1部分 集合與函數(shù)題型整理分析 1、在集合運算中一定要分清代表元的含義. [舉例1]已知集，求. 分析：集合P、Q分別表示函數(shù)與在定義域R上的值域，所以，，. [舉例2]函數(shù)，其中P、M是實數(shù)集R的兩個非空子集，又規(guī)定：.給出下列四個判斷： （1）若，則；（2）若，則； （3）若則；（4）若則. 其中正確的判斷有----------------------------------------------------------------------------------（ ） A、1個； B、2個； C、3個； D、4個. 分析：這是一道比較難的題，涉及到函數(shù)的概念，集合的意義.是函數(shù)的值域，是函數(shù)的值域.取，可知（1）、（3）不正確.由函數(shù)的定義可知，函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個值只能與一個函數(shù)值對應(yīng)，所以若，只能是，此時，（2）正確.對于命題（4）：設(shè)則且，若，顯然有且，所以有；若，由則，由，則.若有，則，所以，則，所以，則.同理可證，若，則有.（4）也正確，選B. 2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. [舉例]若且，求的取值范圍. 分析：集合A有可能是空集.當時，，此時成立；當時，，若，則，有.綜上知，. 注意：在集合運算時要注意學會轉(zhuǎn)化等. 3、充要條件的判定可利用集合包含思想判定：若，則A是B的充分條件；若，則A是B的必要條件；若且即，則A是B的充要條件.有時利用“原命題”與“逆否命題”等價，“逆命題”與“否命題”等價轉(zhuǎn)換去判定也很方便. 充要條件的問題要十分細心地去辨析：“哪個命題”是“哪個命題”的充分（必要）條件；注意區(qū)分：“甲是乙的充分條件（甲乙）”與“甲的充分條件是乙（乙甲）”，是兩種不同形式的問題. ［舉例］設(shè)有集合，則點的＿＿＿＿＿＿＿條件是點；點是點的＿＿＿＿＿＿＿條件. 分析：集合M是圓外的所有點的集合，N是直線上方的點的集合.顯然有.（充分不必要、必要不充分） 4、掌握命題的四種不同表達形式，會進行命題之間的轉(zhuǎn)化，會正確找出命題的條件與結(jié)論.能根據(jù)條件與結(jié)論判斷出命題的真假. ［舉例］命題：“若兩個實數(shù)的積是有理數(shù)，則此兩實數(shù)都是有理數(shù)”的否命題是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命題. 5、若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則有或等，反之亦然.注意：兩個不同函數(shù)圖像之間的對稱問題不同于函數(shù)自身的對稱問題.函數(shù)的圖像關(guān)于直線的對稱曲線是函數(shù)的圖像，函數(shù)的圖像關(guān)于點的對稱曲線是函數(shù)的圖像. [舉例1]若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于＿＿＿＿＿＿對稱. 分析：由是偶函數(shù)，則有，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.或函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像向右平移一個單位而得到的，的圖像關(guān)于軸對稱，故函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱. [舉例2]若函數(shù)滿足對于任意的有，且當時，則當時＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由知，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，因而有成立.，則，所以.即時. 6、若函數(shù)滿足：則是以為周期的函數(shù).注意：不要和對稱性相混淆.若函數(shù)滿足：則是以為周期的函數(shù).（注意：若函數(shù)滿足，則也是周期函數(shù)） ［舉例］已知函數(shù)滿足：對于任意的有成立，且當時，，則＿＿＿＿＿＿. 分析：由知：，所以函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù).，，故意原式值為0. 7、奇函數(shù)對定義域內(nèi)的任意滿足；偶函數(shù)對定義域內(nèi)的任意滿足.注意：使用函數(shù)奇偶性的定義解題時，得到的是關(guān)于變量的恒等式而不是方程.奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱；若函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則此函數(shù)的定義域必關(guān)于原點對稱；反之，若一函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù).若是奇函數(shù)且存在，則；反之不然. ［舉例1］若函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)＿＿＿＿＿＿＿； 分析：注意到有意義，必有，代入得.這種特值法在解填空、選擇題時若能靈活運用，則事半功倍. [舉例2]若函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則此函數(shù)的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：函數(shù)是偶函數(shù)，必有，得；又由是偶函數(shù)，因而.即，所以此函數(shù)的值域為. 8、奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間內(nèi)增減性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間內(nèi)增減性相反.若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則它在對稱軸的兩側(cè)的增減性相反；此時函數(shù)值的大小取決于變量離對稱軸的遠近.解“抽象不等式（即函數(shù)不等式）”多用函數(shù)的單調(diào)性，但必須注意定義域. ［舉例］若函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若實數(shù)滿足：，求的取值范圍. 分析：因為是偶函數(shù)，等價于不等式，又此函數(shù)在上遞增，則在遞減.所以，解得. 9、要掌握函數(shù)圖像幾種變換：對稱變換、翻折變換、平移變換.會根據(jù)函數(shù)的圖像，作出函數(shù)的圖像.（注意：圖像變換的本質(zhì)在于變量對應(yīng)關(guān)系的變換）；要特別關(guān)注的圖像. ［舉例］函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)過下列變換得到的：先將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的（或?qū)⒑瘮?shù)的圖像向上平移1個單位）得到函數(shù)的圖像，再將函數(shù)的圖像作關(guān)于軸對稱得到函數(shù)的圖像，再將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，再將函數(shù)的圖像向下平移1個單位得到函數(shù)，最后將函數(shù)的圖像在軸下方部分翻折到軸上方得到函數(shù)的圖像.注意在變化過程中函數(shù)圖像與坐標軸的交點的變化（尤其是與軸的交點不要搞錯），從圖像上可以看出此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是與. 需要注意的是：函數(shù)圖像變化過程：與變化過程：不同.前者是先作關(guān)于軸對稱后平移，而后者是先平移后再作關(guān)于直線對稱. 10、研究方程根的個數(shù)、超越方程（不等式）的解（特別是含有參量的）、二次方程根的分布、二次函數(shù)的值域、三角函數(shù)的性質(zhì)（包括值域）、含有絕對值的函數(shù)及分段函數(shù)的性質(zhì)（包括值域）等問題常利用函數(shù)圖像來解決.但必須注意的是作出的圖形要盡可能準確：即找準特殊的點（函數(shù)圖像與坐標軸的交點、拐點、極值點等）、遞增遞減的區(qū)間、最值等. ［舉例1］已知函數(shù)，若不等式的解集不為空集，則實數(shù)的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. O 1 分析：不等式的解集不為空集，亦即函數(shù)的圖像上有點在函數(shù)的圖像的上方. 函數(shù)的圖像是軸上方的半 支拋物線，函數(shù)的圖像是過點 斜率為的直線.當時直線與拋物線相切，由圖像知：.（注意圖中的虛線也滿足題義） [舉例2]若曲線與直線沒有公共點，則應(yīng)當滿足的條件是 . 分析：曲線是由與組成，它們與軸的交點為和，圖像如圖（實線部分）.可以看出 1 -1 O 若直線曲線的圖像沒有公共點，此 直線必與軸平行，所以，. 11、一條曲線可以作為函數(shù)圖像的充要條件是：曲線與任何平行于y軸的直線至多只有一個交點. 一個函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是：定義域與值域中元素須一一對應(yīng)，反應(yīng)在圖像上平行于軸的直線與圖像至多有一個交點.單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)嗎？（是的,并且任何函數(shù)在它的每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)總有反函數(shù)）.還應(yīng)注意的是：有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)，你能舉例嗎？ ［舉例］函數(shù)，（），若此函數(shù)存在反函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是定義域與值域中的元素一一對應(yīng)，平行于軸的直線與函數(shù)的圖像至多只有一個交點.又由二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線知：或必存在反函數(shù)，或必不存在反函數(shù).當時如何討論？注意到函數(shù)在區(qū)間上遞減，在上遞增，所以只要或即可.亦即或.綜上知，實數(shù)的取值范圍是 . 12、求一個函數(shù)的反函數(shù)必須標明反函數(shù)的定義域，反函數(shù)的定義域不能單從反函數(shù)的表達式上求解，而是求原函數(shù)的值域.求反函數(shù)的表達式的過程就是解（關(guān)于的）方程的過程.注意：函數(shù)的反函數(shù)是唯一的，尤其在開平方過程中一定要注意正負號的確定. ［舉例］函數(shù)的反函數(shù)為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：令，則.因為，所以，則，.又原函數(shù)的值域為，所以原函數(shù)的反函數(shù)為.（若是從反函數(shù)表達式得求得就不是反函數(shù)的定義域）. 13、原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域；原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；若函數(shù)的定義域為A，值域為C，,則有..需要特別注意一些復合函數(shù)的反函數(shù)問題.如反函數(shù)不是. ［舉例1］已知函數(shù)的反函數(shù)是，則函數(shù)的反函數(shù)的表達式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：求函數(shù)的反函數(shù)是解方程的過程，即用表示然后將互換即得反函數(shù)的表達式.由可得.所以函數(shù)的反函數(shù)為. [舉例2]已知，若，則＿＿＿＿. 分析：由得，所以. 14、判斷函數(shù)的單調(diào)性可用有關(guān)單調(diào)性的性質(zhì)（如復合函數(shù)的單調(diào)性），但證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義，不能用關(guān)于單調(diào)性的任何性質(zhì)，用定義證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵步驟往往是因式分解.記住并會證明：函數(shù)的單調(diào)性. [舉例]已知函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍. 分析：函數(shù)稱為“耐克”函數(shù)，由基本不等式知：當時，函數(shù)的最小值是，當時等號成立.時，函數(shù)遞減；時，函數(shù)遞增.記住此結(jié)論在解選擇、填空等小題時用起來比較方便.函數(shù)在上遞增，則，得.但若是大題推理就不能這樣描述性的說明，必需要按函數(shù)單調(diào)性的定義有嚴格的論證. 任設(shè)且.，由函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，則，而，則.所以對于且恒成立，因，故. 需要說明的是：在考試中若“小題大做”則浪費時間，因為“小題”只要結(jié)果；而“大題小做”則失分，因為“大題”需要嚴格的論證過程. 15、一元二次函數(shù)是最基本的初等函數(shù)，要熟練掌握一元二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值與最小值，應(yīng)會結(jié)合二次函數(shù)的圖像求最值. ［舉例］求函數(shù)在區(qū)間的最值. 分析：求開口向上的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值要根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分三種情況進行討論，但求開口向上的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值只要根據(jù)區(qū)間端點與對稱軸之間的距離分兩種情況進行討論即可. ，. 16、一元二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三個知識點.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、結(jié)合一元二次函數(shù)的圖像、寫出一元二次不等式的解集”，可以將一元二次不等式的問題化歸為一元二次方程來求解.特別對于含參一元二次不等式的討論比較方便.還應(yīng)當注意的是；一般地，不等式解集區(qū)間的端點值是對應(yīng)方程的根（或增根）. [舉例1]已知關(guān)于的不等式的解集是，則實數(shù)的值為 . 分析：若是從解不等式入手，還應(yīng)考慮常數(shù)的正負進行討論.如合理利用方程與不等式之間的關(guān)系則可迅速得到答案：解集端點值是方程的根.則得，知. ［舉例2］解關(guān)于的不等式：. 分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.當時，此不等式是恒成立的，則其解集為.當時，才是二次不等式.與其對應(yīng)的方程為，根判別式.當，即或時，方程兩根為；當，即時，方程有等根；當，即時，方程無實根.結(jié)合二次函數(shù)的圖像知：時不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.