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5 1 2關于穩(wěn)定性的一些提法 1 李亞普諾夫 意義下的穩(wěn)定性由上分析可知 對于定常性系統(tǒng)而言 系統(tǒng)由一定初態(tài)此起的響應隨著時間的推移只有三種 衰減到零 發(fā)散到無窮大 趨于等幅諧波振蕩 從而定義了系統(tǒng)是穩(wěn)定的 不穩(wěn)的 臨界穩(wěn)定的 但對于非線性系統(tǒng)而言 這種響應隨著時間的推移不僅可能有上述三種情況 而且還可能趨于某一非零的常值或作非諧波的振蕩 同時還可能由初態(tài)不同 這種響應隨著時間推移的結(jié)果也不同 俄國學者A M 在統(tǒng)一考慮了線性與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題后 于1882年對系統(tǒng)穩(wěn)定性提出了嚴密的數(shù)學定義 這一定義可以表述如下 如圖5 1 4所示 若o為系統(tǒng)的平衡工作點 擾動使系統(tǒng)偏離此工作點心起始偏差 即初態(tài) 不超過域 由擾動引起的輸出 這種初態(tài)引起的零輸入響應 及其終態(tài)不超過預先給定的某值 即不超出域 則系統(tǒng)稱為穩(wěn)定的 或稱為 意義下穩(wěn)定 這也就是說 若要求系統(tǒng)的輸出不能超出任意給定的正數(shù) 能在初態(tài)為式中則系統(tǒng)稱為在 意義下穩(wěn)定 反之 若要求系統(tǒng)的輸出不能超出任意給定的正數(shù) 但卻不能找到不為零的正數(shù)來滿足式 5 1 6 則系統(tǒng)稱為在 意義下不穩(wěn)定 5 1 6 2 漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性就是前面對線性系統(tǒng)定義的穩(wěn)定性 它要求由初態(tài)引起的響應最終衰減到零 一般所講的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 也就是漸近穩(wěn)定性 當然 也是 意義下的穩(wěn)定性 但對非線系統(tǒng)而言 這兩種穩(wěn)定性是不同的 比較漸近穩(wěn)定性與 意義下的穩(wěn)定性可知 前者比后者對系統(tǒng)的穩(wěn)定性的要求高 系統(tǒng)若是漸近穩(wěn)定的則一定是 意義下穩(wěn)定的 反之則不盡然 3 小偏差 穩(wěn)定性 小偏差 穩(wěn)定性又稱 小穩(wěn)定 或 局部穩(wěn)定性 由于實際系統(tǒng)往往存在非線性 因此系統(tǒng)的動力學方程往往是建立在 小偏差 線性化的基礎之上的 在偏差較大時 線性化帶來的誤差太大 因此 用線性化方程來研究的穩(wěn)定性時 就只限于討論初始偏差 初態(tài) 不超出某一微小范圍時的穩(wěn)定性 稱之為 小偏差 穩(wěn)定性 初始偏差大時 就不能用來討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性 穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 設一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài) 若它瞬間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài) 當此擾動撤消后 系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài) 則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的 反之 系統(tǒng)為不穩(wěn)定 線形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征 結(jié)構(gòu) 參數(shù) 與系統(tǒng)的輸入信號無關 閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面 系統(tǒng)穩(wěn)定 充要條件 5 2勞斯穩(wěn)定判據(jù) Routh sstabilitycriterion 5 2 1勞斯表 線性系統(tǒng)穩(wěn)定 閉環(huán)特征方程式的根必須都位于S的左半平面 充要條件 穩(wěn)定判據(jù) 令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 如果方程式的根都是負實部 或?qū)嵅繛樨摰膹蛿?shù)根 則其特征方程式的各項系數(shù)均為正值 且無零系數(shù) 證明 設 為實數(shù)根 為復數(shù)根 不會有系數(shù)為零的項 線性系統(tǒng)穩(wěn)定 必要條件 將各項系數(shù) 按下面的格式排成老斯表 這樣可求得n 1行系數(shù) 如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值 則其特征方程式的根都在S的左半平面 相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的 如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化 其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù) 相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為 例5 1 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 列勞斯表 結(jié)論 1 該表第一列系數(shù)符號不全為正 因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 2 且符號變化了兩次 所以該方程中有二個根在S的右半平面 已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為 例5 2 求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍 解 列勞斯表 由勞斯判據(jù)可知 若系統(tǒng)穩(wěn)定 則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值 可得 5 2 2勞斯判據(jù)特殊情況 勞斯表某一行中的第一項等于零 而該行的其余各項不等于零或沒有其余項 若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化 其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目 相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定 如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同 則表示該方程中有一對共軛虛根存在 相應的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定 是以一個很小的正數(shù) 來代替為零的這項 1 解決的辦法 據(jù)此算出其余的各項 完成勞斯表的排列 請看例題 已知系統(tǒng)的特征方程式為 試判別相應系統(tǒng)的穩(wěn)定性 例5 3 由于表中第一列 上面的符號與其下面系數(shù)的符號相同 表示該方程中有一對共軛虛根存在 相應的系統(tǒng)為 臨界 不穩(wěn)定 解 列勞斯表 勞斯表中出現(xiàn)全零行 用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式 并以這個輔助多項式導數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行 完成勞斯表的排列 2 解決的辦法 這些大小相等 徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到 而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的 相應方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根 相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定 請看例題 例如 一個控制系統(tǒng)的特征方程為 列勞斯表 顯然這個系統(tǒng)處于臨界 不 穩(wěn)定狀態(tài) 5 2 3勞斯判據(jù)的應用 實際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離 為變量的特征方程式 然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線 此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠 從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的 程度 代入原方程式中 得到以 穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況 而不能確定根的具體數(shù)據(jù) 1 2 解決的辦法 設 右側(cè) 請看例題 5 2 3勞斯判據(jù)的應用 用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程 是否有根在S的右半平面上 并檢驗有幾個根在垂線 的右方 例5 4 解 列勞斯表 第一列全為正 所有的根均位于左半平面 系統(tǒng)穩(wěn)定 令 代入特征方程 式中有負號 顯然有根在 的右方 列勞斯表 第一列的系數(shù)符號變化了一次 表示原方程有一個根在垂直直線 的右方 請看例題 已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3 21所示 試回答 例5 5 時 閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定 圖3 21單位反饋控制系統(tǒng)方塊圖 時 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么 特征方程為 排勞斯表 第一列均為正值 S全部位于左半平面 故 時 閉環(huán)系統(tǒng)的 解 系統(tǒng)穩(wěn)定 開環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)特征方程為 列勞斯表 未完待續(xù) 利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一個或兩個可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值 例題 P1855 5系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖如圖所示 試確定K和取何值時 系統(tǒng)將維持以角頻率的持續(xù)振蕩 解法 由題意知系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài) 這說明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的 又振蕩頻率為2rad s 即閉環(huán)系統(tǒng)必具有共軛虛根 j2 上述情況在與Routh計算表中出現(xiàn)S1行各元素均為零的現(xiàn)象對應 因為只有這樣才可能由S2行元素構(gòu)成的輔助方程式解出一對共軛虛根 令此共軛虛根等于 j2便可確定參數(shù)K和a的值 勞斯表 依據(jù) 等幅振蕩狀態(tài) 臨界穩(wěn)定 有純虛根 1 P157最后一段話 2 P164第2點 3 P1655 2節(jié)最后一句話 另解 將 jW代入閉環(huán)特征方程式 得到關于實部和虛部的兩個方程 可求解出未知參數(shù) 簡便 補充題 某系統(tǒng)閉環(huán)特征方程如下 試判斷系統(tǒng)不在左半平面的極點數(shù) 勞斯表