《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1課時(shí) 一元二次不等式及其解法學(xué)案 新人教A版必修5.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1課時(shí) 一元二次不等式及其解法學(xué)案 新人教A版必修5.doc（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第1課時(shí)　一元二次不等式及其解法 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握一元二次不等式的解法(重點(diǎn)).2.能根據(jù)“三個(gè)二次”之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題(難點(diǎn))． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．一元二次不等式的概念 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 思考：不等式x2－y2>0是一元二次不等式嗎？ [提示]　此不等式含有兩個(gè)變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式． 3．一元二次不等式的解與解集 使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集． 思考：類比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個(gè)元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含義是什么？ [提示]　不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個(gè)元素都是不等式的解，即不等式的每一個(gè)解均使不等式成立． 4．三個(gè)“二次”的關(guān)系： 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac 判別式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不 等式 f(x) ＞0 或 f(x) ＜0的 步驟 求方程 f(x)＝0的解 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解 x1，x2 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解 x1＝x2 沒有實(shí)數(shù)解 畫函數(shù) y＝f(x) 的示意圖 得等的集不式解 f(x) ＞0 {x|x＜x1_ 或x＞x2} R f(x) ＜0 {x|x1＜ x＜x2} ? ? 思考：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？ [提示]　結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集為R，則解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集為R. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若a>0，則一元二次不等式ax2＋1>0無解．(　　) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為x1，x2(x10的解集為R.(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)　(4)√　 提示：(1)錯(cuò)誤．當(dāng)m＝0時(shí)，是一元一次不等式；當(dāng)m≠0時(shí)，是一元二次不等式．(2)錯(cuò)誤．因?yàn)閍>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集為R.(3)錯(cuò)誤．當(dāng)a>0時(shí)，ax2＋bx＋c<0的解集為{x|x10的解集為R. 2．(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，則?RA＝(　　) A．{x|－1＜x＜2}　　　　　 B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} B　[通解　A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故選B. 優(yōu)解　因?yàn)锳＝{x|x2－x－2＞0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故選B.] 3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________． {x|x>5或x<－1}　[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0， 因?yàn)閤2－4x－5＝0的兩根為－1,5， 故x2－4x－5>0的解集為{x|x<－1或x>5}．] 4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432278】 ?　[原不等式變形為3x2－5x＋4<0. 因?yàn)棣ぃ?－5)2－434＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0無解． 由函數(shù)y＝3x2－5x＋4的圖象可知，3x2－5x＋4<0的解集為?.] [合 作 探 究攻 重 難] 一元二次不等式的解法 　解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2<0. [解]　(1)因?yàn)棣ぃ?2－423＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1＝－3，x2＝－.又二次函數(shù)y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為. (2)原不等式可化為2≤0，所以原不等式的解集為. (3)原不等式可化為2x2－3x＋2>0，因?yàn)棣ぃ?－422＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實(shí)根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R. [規(guī)律方法]　解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟 (1)化標(biāo)準(zhǔn).通過對(duì)不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正. (2)判別式.對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式. (3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根. (4)畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖. (5)寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集. [跟蹤訓(xùn)練] 1．解下列不等式 (1)2x2－3x－2>0； (2)x2－4x＋4>0； (3)－x2＋2x－3<0； (4)－3x2＋5x－2>0. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432279】 [解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2， ∴不等式2x2－3x－2>0的解集為 . (2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， ∴不等式x2－4x＋4>0的解集為. (3)原不等式可化為x2－2x＋3>0， 由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0無解， ∴不等式－x2＋2x－3<0的解集為R. (4)原不等式可化為3x2－5x＋2<0， 由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的兩根為x1＝，x2＝1， ∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集為. 含參數(shù)的一元二次不等式的解法 　解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 思路探究：①對(duì)于二次項(xiàng)的系數(shù)a是否分a＝0，a<0，a>0三類進(jìn)行討論？②當(dāng)a≠0時(shí)，是否還要比較兩根的大?。? [解]　當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式可化為x>1. 當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式可化為(ax－1)(x－1)<0. 當(dāng)a<0時(shí)，不等式可化為(x－1)>0， ∵<1，∴x<或x>1. 當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可化為(x－1)<0. 若<1，即a>1，則1，即01}；當(dāng)01時(shí)，原不等式的解集為. [規(guī)律方法]　 解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟 注：對(duì)參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并． [跟蹤訓(xùn)練] 2．解關(guān)于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432280】 [解]　原不等式移項(xiàng)得ax2＋(a－2)x－2≥0， 化簡(jiǎn)為(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)≤0. 當(dāng)－20、y<0、y＝0時(shí)x的取值集合分別是什么？這說明二次函數(shù)與二次方程、二次不等式有何關(guān)系？ 提示：y＝x2－2x－3的圖象如圖所示． 函數(shù)y＝x2－2x－3的值滿足y>0時(shí)自變量x組成的集合，亦即二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象在x軸上方時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，滿足y<0時(shí)x的取值集合為{x|－10(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一種特殊情況，它們之間是一種包含關(guān)系，也就是當(dāng)y＝0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就轉(zhuǎn)化為方程，當(dāng)y>0或y<0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為一元二次不等式． 2．方程x2－2x－3＝0與不等式x2－2x－3>0的解集分別是什么？觀察結(jié)果你發(fā)現(xiàn)什么問題？這又說明什么？ 提示：方程x2－2x－3＝0的解集為{－1,3}． 不等式x2－2x－3>0的解集為{x|x<－1或x>3}，觀察發(fā)現(xiàn)不等式x2－2x－3>0解集的端點(diǎn)值恰好是方程x2－2x－3＝0的根． 3．設(shè)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分別為{x|xx2}，{x|x10(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分別為{x|xx2}，{x|x10的解集為{x|20的解集為{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為∪. 法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|20的解集． [解]　由根與系數(shù)的關(guān)系知＝－5，＝6且a<0. ∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0 即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0. 解之得. 2．(變條件)若將本例中的條件“關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|20，得(x－1)(2x＋1)>0，解得x>1或x<－，從而得原不等式的解集為∪(1，＋∞)．] 3．設(shè)a<－1，則關(guān)于x的不等式a(x－a)<0的解集為________． 　[因?yàn)閍<－1，所以a(x－a)<0?(x－a)>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x0的解集為________． 　[由題意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根且a<0， 故解得a＝c，b＝c. 所以不等式ax2－bx＋c>0即為2x2－5x＋2<0， 解得0的解集為.] 5．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2>2(x－1). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432283】 [解]　(1)原不等式可化為x2－7x＋12≤0，因?yàn)榉匠蘹2－7x＋12＝0的兩根為x1＝3，x2＝4， 所以原不等式的解集為{x|3≤x≤4}． (2)原不等式可以化為x2－2x＋2>0， 因?yàn)榕袆e式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0無實(shí)根，而拋物線y＝x2－2x＋2的圖象開口向上， 所以原不等式的解集為R.