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課時跟蹤訓練(七) 函數(shù)的奇偶性與周期性
[基礎鞏固]
一、選擇題
1．(2017石家莊質檢)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|－1
C．y＝lgx D．y＝|x|
[答案] B
2．設f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f等于( )
A．－ B．－
C. D.
[解析] ∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)，
∴f＝f
＝f＝－f
＝－2＝－.
[答案] A
3．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且在區(qū)間[a，b](a
時，f(x＋1)＝f＝f＝f(x)，所以當x>時，f(x)的周期為1，所以f(6)＝f(1)．
又f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2，故選D.
[答案] D
二、填空題
7．(2017全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x∈(－∞，0)時，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________.
[解析] 依題意得，f(－2)＝2(－2)3＋(－2)2＝－12，由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，得f(2)＝－f(－2)＝12.
[答案] 12
8．(2018唐山一中測試)已知函數(shù)f(x)＝ax5－bx＋|x|－1，若f(－2)＝2，則f(2)＝________.
[解析] 因為f(－2)＝2，所以－32a＋2b＋2－1＝2，則32a－2b＝－1，即f(2)＝32a－2b＋2－1＝0.
[答案] 0
9．(2017甘肅省張掖市高三一診)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意的實數(shù)x，均有f(x＋3)≤f(x)＋3，f(x＋2)≥f(x)＋2且f(1)＝2，則f(2017)的值為________．
[解析] ∵f(x＋3)≤f(x)＋3，f(x＋2)≥f(x)＋2，
∴f(x＋1)＋2≤f(x＋3)≤f(x)＋3，∴f(x＋1)≤f(x)＋1.又f(x＋1)＋1≥f(x＋2)≥f(x)＋2，
∴f(x＋1)≥f(x)＋1，∴f(x＋1)＝f(x)＋1，利用迭加法，得f(2017)＝2018.
[答案] 2018
三、解答題
10．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)求實數(shù)m的值；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
[解] (1)設x<0，則－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，
結合f(x)的圖象知
所以10時，f(x)＝x3＋x＋1，則當x<0時，f(x)的解析式為________．
[解析] 設x<0，則－x>0，因為當x>0時，f(x)＝x3＋x＋1，所以f(－x)＝－x3－x＋1.又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝－x3－x＋1.
[答案] f(x)＝－x3－x＋1
14．(2017云南省高三統(tǒng)一檢測)已知函數(shù)f(x)＝若f(x－1)0，則－x<0，f(－x)＝3(－x)2＋ln(＋x)＝3x2＋ln(＋x)＝f(x)，同理可得，x<0時，f(－x)＝f(x)，且x＝0時，f(0)＝f(0)，所以f(x)是偶函數(shù)．因為當x>0時，函數(shù)f(x)單調遞增，所以不等式f(x－1)0，解得x>0或x<－2.
[答案] (－∞，－2)∪(0，＋∞)
15．(2018日照檢測)設f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)．當－1≤x≤0時，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的表達式．
[解] (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．
(2)當x∈[0,1]時，－x∈[－1,0]，則f(x)＝f(－x)＝x；
進而當x∈[1,2]時，x－2∈[－1,0]，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故所求為f(x)＝
16．函數(shù)f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且f＝.
(1)確定函數(shù)f(x)的解析式；
(2)用定義證明f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
[解] (1)依題意得
即?∴f(x)＝.
(2)證明：任?。?0,1＋x>0.
又－10，
∴f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．
(3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，
∴－10且an－1(2n－2n＋3)≥an－2(2n－2n＋5)，解得a≥，故選C.
[答案] C
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