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課時跟蹤訓(xùn)練(五十五) 古典概型 [基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 1．(2017河北唐山二模)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個不同數(shù)字，則這兩個數(shù)字之積小于5的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個不同數(shù)字，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6個基本事件，其中這兩個數(shù)字之積小于5的有(1,2)，(1,3)，(1,3)共3個基本事件，則這兩個數(shù)字之積小于5的概率為P＝＝；故選B. [答案]　B 2．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　) A. B. C. D．1 [解析]　從15個球中任取出2個球有＝105種方法，其中恰有一個白球，1個紅球的概率P＝＝. [答案]　B 3．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是33＝9，滿足條件的事件數(shù)是這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組．由于共有3個小組，所以有3種結(jié)果．根據(jù)古典概型概率計算公式得P＝＝，故選A. [答案]　A 4．有兩個質(zhì)地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個玩具的各面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4.把兩個玩具各拋擲一次，斜向上的面上的數(shù)字之和能被5整除的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　把“兩個玩具斜向上的面的數(shù)字之和能被5整除”記為事件A，每個玩具斜向上的面的數(shù)字之和均有4種情況，兩個玩具各拋擲一次，斜向上的面的數(shù)字之和共有16種情況，其中能被5整除的有4種情況：(1,2,3)，(2,3,4)；(1,2,4)，(1,3,4)；(1,3,4)，(1,2,4)；(2,3,4)，(1,2,3)．故P(A)＝＝. [答案]　B 5．某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個小球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號放回，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是(　　) A. B. C. D. [解析]　記(a，b)為甲、乙摸球的編號，如下表： a b 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 可知基本事件共有36個，滿足a＝b的基本事件共有6個，故所求事件的概率P＝1－＝. [答案]　C 6．從正六邊形的6個頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于(　　) A. B. C. D. [解析]　 如圖所示，從正六邊形ABCDEF的6個頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個頂點(diǎn)，可以看作隨機(jī)選擇2個頂點(diǎn)，剩下的4個頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種．若要構(gòu)成矩形，只要選相對的頂點(diǎn)即可，有(A，D)，(B，E)，(C，F(xiàn))，共3種，故其概率為＝. [答案]　D 二、填空題 7．盒子里有大小相同的白球3個、黑球1個．若從中隨機(jī)摸出2個球，則它們顏色不同的概率是__________． [解析]　設(shè)3個白球?yàn)锳，B，C,1個黑球?yàn)镈，則從中隨機(jī)摸出2個球的情形有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6種．其中2個球顏色不同的有3種，故所求概率為. [答案]　 8．(2017湖南湘中名校聯(lián)考)從集合A＝{－2，－1,2}中隨機(jī)選取一個數(shù)記為a，從集合B＝{－1,1,3}中隨機(jī)選取一個數(shù)記為b，則直線ax－y＋b＝0不經(jīng)過第四象限的概率為________． [解析]　集合A，B中各有三個元素，隨機(jī)選取(a，b)，共有9種可能的結(jié)果，若直線不經(jīng)過第四象限，則a>0，且b>0，滿足條件的(a，b)，有(2,1)，(2,3)，∴直線不經(jīng)過第四象限的概率為P＝. [答案]　 9．從兩名男生和兩名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為________． [解析]　兩名男生記為A1，A2，兩名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1,12種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2,4種情況，則所求的概率P＝＝. [答案]　 三、解答題 10．某校夏令營有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如下表： 一年級 二年級 三年級 男同學(xué) A B C 女同學(xué) X Y Z 現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)． (1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果； (2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率． [解]　(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種． (2)選出的2人來自在不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種． 因此，事件M發(fā)生的概率P(M)＝＝. [能力提升] 11．(2017山西考前適應(yīng)性測試)甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是(　　) A. B. C. D. [解析]　用(x，y，z)表示乙、丙、丁搶到的紅包分別為x元、y元、z元．乙、丙、丁三人搶完6元錢的所有不同的可能結(jié)果有10種，分別為(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙獲得“手氣最佳”的所有不同的可能結(jié)果有4種，分別為(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．根據(jù)古典概型的概率計算公式，得乙獲得“手氣最佳”的概率是P＝＝.故選D. [答案]　D 12．(2017河南省中原名校期末)從4名男生和2名女生中任選3人參加某項(xiàng)活動，則所選的3人中女生人數(shù)不超過1的概率是(　　) A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 [解析]　設(shè)事件Q為“所選3人中女生人數(shù)不超過1”，事件M為“所選3人中女生人數(shù)為1”，事件N為“所選3人中女生人數(shù)為0”，則事件M，N是互斥事件.4名男生分別記為1,2,3,4；2名女生分別記為a，b.從4名男生和2名女生中任選3人有20種不同的結(jié)果，分別為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，a}，{1,2，b}，{1,3,4}，{1,3，a}，{1,3，b}，{1,4，a}，{1,4，b}，{1，a，b}，{2,3,4}，{2,3，a}，{2,3，b}，{2,4，a}，{2,4，b}，{2，a，b}，{3,4，a}，{3,4，b}，{3，a，b}，{4，a，b}．事件M所含的基本事件分別為{1,2，a}，{1,2，b}，{1,3，a}，{1,3，b}，{1,4，a}，{1,4，b}{2,3，a}，{2,3，b}，{2,4，a}，{2,4，b}，{3,4，a}，{3,4，b}，共12個，所以P(M)＝＝；事件N所含的基本事件分別為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，共4個，所以P(N)＝＝；所以事件Q的概率為P(Q)＝P(M)＋P(N)＝＋＝0.8，故選A. [答案]　A 13．屬相，也叫生肖，包括鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬十二種動物．已知在甲、乙、丙、丁、戊五人中，甲、乙、丙的屬相均是牛，丁、戊的屬相均是豬，現(xiàn)從這五人中隨機(jī)選出兩人，則所選出的兩人的屬相互不相同的概率為__________． [解析]　從這五人中隨機(jī)選出兩人的選法為{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}，共10種；所選出的兩人的屬相互不相同的選法為{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，共6種．故所選出的兩人的屬相互不相同的概率P＝＝0.6. [答案]　0.6 14．小李加工外形完全一樣的甲、乙兩種零件，已知他加工的4個甲種零件中有2個次品，2個乙種零件中有1個次品，現(xiàn)從這6個零件中隨機(jī)抽取2個，則能抽到甲種零件的次品的概率為__________． [解析]　記“抽到甲種零件的次品”為事件A，“抽到甲種零件的次品數(shù)為1”為事件M，“抽到甲種零件的次品數(shù)為2”為事件N，則事件M，N為互斥事件．從這6個零件中隨機(jī)抽取2個，利用枚舉法可知共有15種不同的抽取方法，事件M所含的基本事件數(shù)為8，事件N所含的基本事件數(shù)為1，所以P(M)＝，P(N)＝，所以P(A)＝P(M)＋P(N)＝＋＝0.6. [答案]　0.6 15．一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率． [解]　(1)由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種． 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A， 則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種． 所以P(A)＝＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為. (2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種． 所以P(B)＝1－P()＝1－＝. 因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為. 16．某初級中學(xué)根據(jù)運(yùn)動場地的影響，為盡可能讓學(xué)生都參與到運(yùn)動會中來，在2017冬季運(yùn)動會中設(shè)置了五個項(xiàng)目，其中屬于跑步類的兩項(xiàng)分別是200米和400米，另外三項(xiàng)分別為跳繩、跳遠(yuǎn)、跳高．學(xué)校要求每位學(xué)生必須參加，且只能參加其中一項(xiàng)，該校780名學(xué)生參加各運(yùn)動項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計如下表： 運(yùn)動項(xiàng)目 200米 400米 跳繩 跳遠(yuǎn) 跳高 合計 參加人數(shù) m 240 180 120 n 780 其中參加跑步類的人數(shù)所占頻率為，為了了解學(xué)生身體健康與參加運(yùn)動項(xiàng)目之間的關(guān)系，用分層抽樣的方法從這780名學(xué)生中抽取13人進(jìn)行分析． (1)求表格中m和n的值以及抽取的13人中參加200米的學(xué)生人數(shù)； (2)抽取的13名學(xué)生中恰好包含X，Y兩名同學(xué)，其中X同學(xué)參加的項(xiàng)目是200米，Y同學(xué)參加的項(xiàng)目是跳繩，現(xiàn)從已抽出的參加200米和跳繩兩個項(xiàng)目的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求這3人中正好有X，Y兩名同學(xué)的概率． [解]　(1)由題意，得參加跑步類的學(xué)生人數(shù)為780＝420，所以m＝420－240＝180，n＝780－420－180－120＝60.根據(jù)分層抽樣法知，抽取的13人中參加200米的學(xué)生人數(shù)為13＝3. (2)抽取的13人中參加200米的有3人，分別記為A1，A2，X， 參加跳繩的有3人，分別記為B1，B2，Y. 現(xiàn)從這6人中任選3人，所有不同的可能結(jié)果為(A1，A2，X)，(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A2，Y)，(A1，X，B1)，(A1，X，B2)，(A1，X，Y)，(A1，B1，B2)，(A1，B1，Y)，(A1，B2，Y)，(A2，X，B1)，(A2，X，B2)，(A2，X，Y)，(A2，B1，B2)，(A2，B1，Y)，(A2，B2，Y)，(X，B1，B2)，(X，B1，Y)，(X，B2，Y)，(B1，B2，Y)，共20種，其中這3人中正好有X，Y兩名同學(xué)的情況有4種，由古典概型的概率計算公式，可得所求概率為P＝＝. [延伸拓展] 1．把分別標(biāo)有“誠”“信”“考”“試”字樣的四張卡片隨意地排成一排，則卡片從左到右不能念成“誠信考試”和“考試誠信”的概率是(　　) A. B. C. D. [解析]　設(shè)事件M＝{卡片從左到右不能念成“誠信考試”和“考試誠信”}，則其對立事件＝{卡片從左到右能念成“誠信考試”或“考試誠信”}．利用枚舉法可知，分別標(biāo)有“誠”“信”“考”“試”字樣的四張卡片的排列方式共有24種，其中從左到右能念成“誠信考試”或“考試誠信”的有2種，所以P()＝＝，故P(M)＝1－P()＝1－＝，故選D. [答案]　D 2．從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個數(shù)a，從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個數(shù)b，則向量m＝(a，b)與向量n＝(1，－1)垂直的概率為(　　) A. B. C. D. [解析]　由題意可知，m＝(a，b)有(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12個基本事件．因?yàn)閙⊥n，即mn＝0，所以a1＋b(－1)＝0，即a＝b，滿足條件的基本事件為(3,3)，(5,5)，共2個，故所求的概率為＝. [答案]　A