《2017-2018學年高中數學 第六章 推理與證明 6.1 合情推理和演繹推理 6.1.2 類比分層訓練 湘教版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年高中數學 第六章 推理與證明 6.1 合情推理和演繹推理 6.1.2 類比分層訓練 湘教版選修2-2.doc（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

6．1.2　類　比 一、基礎達標 1．下列哪個平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象較合適 (　　) A．三角形 B．梯形 C．平行四邊形 D．矩形 答案　C 2．給出下面四個類比結論 (　　) ① 實數a，b，若ab＝0則a＝0或b＝0；類比向量a，b，若ab＝0， ② 則a＝0或b＝0 ②實數a，b，有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；類比向量a，b，有(a＋b)2＝ a2＋2ab＋b2 ③實數a，有|a|2＝a2，類比向量a，有|a|2＝a2 ④實數a，b有a2＋b2＝0，則a＝b＝0；類比向量a，b有a2＋b2＝0，則 a＝b＝0 其中類比結論正確的命題個數為 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 3．三角形的面積S＝(a＋b＋c)r，其中a，b，c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理；可以得出四面體的體積為 (　　) A．V＝abc B．V＝Sh C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r D．V＝(ab＋bc＋ac)h 答案　C 4．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數集，R為實數集，C為復數集)： ①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C， 則a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，則復數a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出 “若a，b，c，d∈Q，則a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若a，b∈C，則a－b>0?a>b”． 其中類比得到的結論正確的個數是 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析?、佗谑钦_的，③是錯誤的，因為復數不能比較大小，如a＝5＋6i， b＝4＋6i，雖然滿足a－b＝1>0，但復數a與b不能比較大小． 5．類比平面幾何中“三角形任兩邊之和大于第三邊”，得空間相應的結論為________． 答案　三棱錐任意三個面的面積之和大于第四個面的面積 解析　平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象，從而有結論． 6．如圖(1)有面積關系＝，則圖(2)有體積關系＝________. 答案　 7．如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC，所成的角分別為α1、α2、α3，三側面SBC，SAC，SAB的面積分別為S1，S2，S3，類比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個猜想． 解　在△DEF中(如圖)，由正弦定理得 ＝＝. 于是，類比三角形中的正弦定理， 在四面體S－ABC中， 我們猜想＝＝成立． 二、能力提升 8．設△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r＝，類比這個結論可知：四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內切球半徑為r，四面體S－ABC的體積為V，則r＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設四面體的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是r，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為V四面體A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R， ∴r＝. 9．定義：ab，bc，cd，da的運算分別對應下圖中的(1)(2)(3)(4)． 則圖中甲、乙運算式可表示為________． 答案　db，ca 10．在平面幾何中，△ABC的內角平分線CE分AB所成線段的比為＝，把這個結論類比到空間：在三棱錐A－BCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB相交于E，則得到的類比的結論是________． 答案　＝ 解析　△ABC中作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，則ED＝EF. ∴＝＝， 類比：在三棱錐A－BCD中，過直線AB作一平面垂直于CD，并交CD于點H，則∠AHB是二面角A－CD－B的平面角，連接EH，則EH是∠AHB的角平分線． ∴＝＝. 11．已知等差數列{an}的公差為d，前n項和Sn，則有如下性質： ①通項：an＝am＋(n－m)d； ②若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋)； ③若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap(m、n、p∈N＋)； ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等差數列． 類比上述性質，在等比數列{bn}中，寫出相類似的性質，并判斷所得結論的真假． 解　在等比數列{bn}中，公比為q，前n項和為Sn，則可以得到： ①通項：bn＝bmqn－m(真命題)； ②若m＋n＝p＋q，則bmbn＝bpbq(m，n，p，q∈N＋)(真命題)； ③若m＋n＝2p，則bmbn＝b(m，n，p∈N＋)(真命題)； ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等比數列(假命題)． 12．(1)橢圓C：＋＝1(a>b>0)與x軸交于A，B兩點，點P是橢圓C上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，求證：A為定值b2－a2. (2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線－＝1(a>0，b>0)與x軸交于A，B兩點，點P是雙曲線C上異于A，B的任意一點，直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，求證A為定值，請寫出這個定值(不要求寫出解題過程)． 解　(1)證明如下：設點P(x0，y0)(x0≠a) 依題意，得A(－a,0)，B(a,0) 所以直線PA的方程為y＝(x＋a)， 令x＝0，得yM＝. 同理得yN＝－，所以yMyN＝. 又點P(x0，y0)在橢圓上，所以＋＝1， 因此y＝(a2－x)，所以yMyN＝＝b2. 因為＝(a，yN)，＝(－a，yM)， 所以＝－a2＋yMyN＝b2－a2. (2)－(a2＋b2)． 三、探究與創(chuàng)新 13．如圖，在長方形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α、β，則cos2α＋cos2β＝1，則在立體幾何中，給出類比猜想． 解　在長方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝()2＋()2＝＝＝1. 于是類比到長方體中，猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為α、β、γ， 則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 證明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝()2＋()2＋()2＝＝＝1.