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綜合檢測
時間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．命題“若a>b，則a＋1>b”的逆否命題是( )
A．若a＋1≤b，則a>b B．若a＋1
b
C．若a＋1≤b，則a≤b D．若a＋1b，則a＋1>b”的逆否命題為“若a＋1≤b，則a≤b”，故選C.
答案：C
2．函數(shù)y＝(x－a)(x－b)在x＝a處的導數(shù)為( )
A．a(chǎn)b B．－a(a－b) C．0 D．a(chǎn)－b
解析：∵y＝x2－(a＋b)x＋ab，∴y′＝2x－(a＋b)，
∴y′＝2a－(a＋b)＝a－b.
答案：D
3．過點P(1，－3)的拋物線的標準方程為( )
A．x2＝y(tǒng)或x2＝－y
B．x2＝y(tǒng)
C．y2＝－9x或x2＝y(tǒng)
D．x2＝－y或y2＝9x
解析：P(1，－3)在第四象限，所以拋物線只能開口向右或向下，設方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－y.
答案：D
4．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(3,9) B．(－∞，－1)，(3，＋∞)
C．(－1,3) D．(－∞，3)，(9，＋∞)
解析：∵f(x)＝x3－3x2－9x，
∴f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)．
令f ′(x)>0知x>3或x<－1.
答案：B
5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
解析：由題意得＝，
e2＝＝1＋＝1＋＝.
答案：A
6．設a，b，c均為正實數(shù)，則“a>b”是“ac>bc”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：根據(jù)充分性和必要性的概念判斷．因為a，b，c是正實數(shù)，所以a>b等價于ac>bc，即“a>b”是“ac>bc”的充要條件，故選C.
答案：C
7．已知命題p：?x∈(－∞，0)，2x<3x；命題q：?x∈R，f(x)＝x3－x2＋6的極大值為6，則下面選項中真命題是( )
A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∨(綈q)
C．p∨(綈q) D．p∧q
解析：由2x<3x得()x<1，當x<0時，()x>1，所以命題p為假命題．綈p為真，選B.
答案：B
8．已知曲線y＝x4＋ax2＋1在點(－1，a＋2)處切線的斜率為8，則a＝( )
A．9 B．6 C．－9 D．－6
解析：y′＝4x3＋2ax，由導數(shù)的幾何意義知在點(－1，a＋2)處的切線斜率k＝y(tǒng)′＝－4－2a＝8，解得a＝－6.
答案：D
9．雙曲線－＝1與橢圓＋＝1(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a，b，m為邊長的三角形一定是( )
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析：雙曲線的離心率e＝，橢圓的離心率e＝，由已知ee＝1，即＝1，化簡，得a2＋b2＝m2.
答案：C
10.已知f(x)的導函數(shù)f ′(x)圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能是圖中的( )
解析：∵x∈(－∞，－2)時，f ′(x)<0，∴f(x)為減函數(shù)；同理f(x)在(－2,0)上為增函數(shù)，(0，＋∞)上為減函數(shù)．
答案：A
11．已知函數(shù)y＝f(x)，數(shù)列{an}的通項公式是an＝f(n)(n∈N*)，那么“函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：當函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”一定成立．當函數(shù)y＝f(x)在[1,2]上先減后增，且f(1)0)的極大值為正數(shù)，極小值為負數(shù)，則a的取值范圍是________．
解析：∵f ′(x)＝3x2－3a2
＝3(x－a)(x＋a)(a>0)，
∴f ′(x)>0時，得：x>a或x<－a，
f ′(x)<0時，得－a1.
答案：(1，＋∞)
14．若命題“?x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：由題意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，
解得a<－1或a>3.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
15．過拋物線C：y2＝4x的焦點F作直線l交拋物線C于A，B兩點，若A到拋物線準線的距離為4，則|AB|＝________.
解析：設A(xA，yA)，B(xB，yB)，∵y2＝4x，∴拋物線準線為x＝－1，F(xiàn)(1,0)，又A到拋物線準線的距離為4，
∴xA＋1＝4，∴xA＝3，∵xAxB＝＝1，∴xB＝，
∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋＋2＝.
答案：
16. 已知雙曲線x2－y2＝1，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為________．
解析：由雙曲線的方程可知a＝1，c＝，
∴||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4，
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝8，
∴2|PF1||PF2|＝4，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝8＋4＝12，
∴|PF1|＋|PF2|＝2.
答案：2
三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)已知c>0，設命題p：函數(shù)y＝cx為減函數(shù)．命題q：當x∈時，函數(shù)f(x)＝x＋>恒成立．如果p或q為真命題，p且q為假命題，求c的取值范圍．
解析：由命題p為真知，0，
若p或q為真命題，p且q為假命題，
則p、q中必有一真一假，
當p真q假時，
c的取值范圍是00；
當x∈時，f′(x)<0；
當x∈(1,2]時，f′(x)>0.
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1,2]．
19．(12分)已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點．
(1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離．
解析：(1)因為直線l的傾斜角為60，如圖．所以其斜率k＝tan 60＝，又F(，0)．
所以直線l的方程為y＝(x－)．
聯(lián)立消去y得
x2－5x＋＝0.
若設A(x1，y1)， B(x2，y2)．則x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
∴|AB|＝5＋3＝8.
(2)設A(x1，y1)，B (x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點M的橫坐標是3，又準線方程是x＝－，所以M到準線的距離等于3＋＝.
20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ex－f(0)x＋x2(e是自然對數(shù)的底數(shù))．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式和單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)g(x)＝x2＋a與函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[－1,2]上恰有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．
解析：(1)由已知得f ′(x)＝ex－f(0)＋x，
令x＝1，得f ′(1)＝f ′(1)－f(0)＋1，
即f(0)＝1.
又f(0)＝，所以f ′(1)＝e.
從而f(x)＝ex－x＋x2.
顯然f ′(x)＝ex－1＋x在R上單調(diào)遞增且f ′(0)＝0，
故當x∈(－∞，0)時，f ′(x)<0；
當x∈(0，＋∞)時，f ′(x)>0.
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，
單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)．
(2)由f(x)＝g(x)得a＝ex－x.
令h(x)＝ex－x，則h ′(x)＝ex－1.
由h ′(x)＝0得x＝0.
所以當x∈(－1,0)時，h ′(x)<0；
當x∈(0,2)時，h ′(x)>0.
∴h(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增．
又h(0)＝1，h(－1)＝1＋，h(2)＝e2－2且h(－1)0，當50，方程－4mx2＋24mx－5＝0的兩根分別為x1＝3－，x2＝3＋，因為m≥0.25，所以x1≤1.5≤x2<6，所以當x∈(1，x2)時，f ′(x)>0，當x2
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