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專題02 參數(shù)方程 知識(shí)通關(guān) 1．曲線的參數(shù)方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)． 2．參數(shù)方程與普通方程的互化 通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程，如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程．在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致． （1）參數(shù)方程化為普通方程 基本思路是消去參數(shù),常用的消參方法有:①代入消元法;②加減消元法;③恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法等,其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧.對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參.如等. （2）普通方程化為參數(shù)方程 曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單;當(dāng)參數(shù)取某一值時(shí),可以唯一確定x,y的值.一般地,與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題,常采用旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù);與直線有關(guān)的常選用直線的傾斜角、斜率、截距作為參數(shù);與實(shí)踐有關(guān)的問題,常取時(shí)間作為參數(shù).此外,也常常用線段的長(zhǎng)度、某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)(縱坐標(biāo))作為參數(shù). 3．常見曲線的參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 過點(diǎn)M0(x0,y0),α為直線的傾斜角的直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓 x2＋y2＝r2 (θ為參數(shù)) 中心在原點(diǎn)的橢圓 (a>b>0) (φ為參數(shù)) 【注】（1）在直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離． （2）若圓心在點(diǎn)M0(x0,y0),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). （3）若橢圓的中心不在原點(diǎn),而在點(diǎn)M0(x0,y0),相應(yīng)的橢圓參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 基礎(chǔ)通關(guān) 1．了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義. 2．能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程. 題組一 參數(shù)方程與普通方程的互化 （1）將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù)． （2）把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個(gè)量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y的取值范圍的影響，要保持同解變形． 【例1】已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． （1）求直線l和圓C的普通方程； （2）若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解析】（1）直線l的普通方程為2x－y－2a＝0， 圓C的普通方程為x2＋y2＝16. （2）因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn)， 故圓C的圓心到直線l的距離，解得－2≤a≤2. 題組二 參數(shù)方程及其應(yīng)用 （1）解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時(shí)，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題． （2）對(duì)于形如(t為參數(shù))，當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題． 【例2】已知曲線C：，直線l：(t為參數(shù)). （1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； （2）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值． 【解析】（1）曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. （2）曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為. 當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為. 故|PA|的最大值與最小值分別為，. 能力通關(guān) 1．直線參數(shù)方程的應(yīng)用:直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程主要用來解決過定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)或距離問題.它可以避免求交點(diǎn)時(shí)解方程組的煩瑣運(yùn)算,但應(yīng)用直線的參數(shù)方程時(shí),需先判斷是否是標(biāo)準(zhǔn)形式再考慮參數(shù)的幾何意義.設(shè)過點(diǎn)M(x0，y0)的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，注意以下兩個(gè)結(jié)論的應(yīng)用： (1)|AB|＝|t1－t2|； (2)|MA||MB|＝|t1t2|. 2．圓的參數(shù)方程突出了工具性作用,應(yīng)用時(shí),把圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式,將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題,利用三角函數(shù)知識(shí)解決問題. 3．參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程．求解時(shí)，充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，可化繁為簡(jiǎn)． 利用參數(shù)的幾何意義解決問題 【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為. （I）寫出直線的直角坐標(biāo)方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程； （II）若，且直線與曲線C交于兩點(diǎn)，求的值. 【解析】（I）依題意，曲線C：，即， 故曲線C的極坐標(biāo)方程為； 因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，即，所以直線的直角坐標(biāo)方程為. 坐標(biāo)系與參數(shù)方程的綜合問題 【例2】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為． （1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)． （2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為， 因?yàn)榍€是直線， 所以的最小值即點(diǎn)到直線的距離的最小值， 易得點(diǎn)到直線的距離為， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為． 【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)）經(jīng)伸縮變換后的曲線為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （1）求曲線的極坐標(biāo)方程； （2）已知是曲線上兩點(diǎn)，且，求的取值范圍. 【解析】（1）曲線化為普通方程為：， 由得，代入上式可知：曲線的方程為，即， ∴曲線的極坐標(biāo)方程為. （2）設(shè)，（）， ∴， 因?yàn)椋? 所以的取值范圍是. 高考通關(guān) 1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線：. （1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）試判斷直線與曲線是否相交，若相交，請(qǐng)求出弦長(zhǎng)；若不相交，請(qǐng)說明理由. 【解析】（1）由消去得， 所以直線的普通方程為. 由兩邊同乘以得， 因?yàn)?，? 所以，配方得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為. （2）法一：由（1）知，曲線的圓心為，半徑為2， 由圓心到直線的距離公式得到直線的距離， 所以直線與曲線相交，設(shè)交點(diǎn)為、， 所以. 所以直線與曲線相交，其弦長(zhǎng)為. 法二：由（1）知，，， 聯(lián)立方程，得，消去得， 因?yàn)椋? 所以直線與曲線相交， 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，由根與系數(shù)的關(guān)系知，， 所以， 所以直線與曲線相交，其弦長(zhǎng)為. 2．在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為． （1）求直線l的極坐標(biāo)方程； （2）若射線與直線l交于點(diǎn)P,與曲線C交于點(diǎn)Q(Q與原點(diǎn)O不重合),求的值． 【解析】（1）由消去t得直線的普通方程為, 把,代入得直線l的極坐標(biāo)方程為. （2）由題意可得,,, 所以=. 3．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）求點(diǎn)的極坐標(biāo)及曲線的參數(shù)方程； （2）過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，若，求直線的直角坐標(biāo)方程. 【解析】（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的點(diǎn)， ，且， ， 點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 曲線的極坐標(biāo)方程為， ， 由得， 曲線的直角坐標(biāo)方程為，即， 曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. （2）顯然直線的斜率存在， 可設(shè)直線的方程為，即， ，圓的半徑為1， 圓的圓心到直線的距離為， ，化簡(jiǎn)得，解得或， 直線的直角坐標(biāo)方程為或. 4．已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、極軸與軸的正半軸重合，直線的極坐標(biāo)方程為． （1）求直線的參數(shù)方程； （2）設(shè)與曲線為參數(shù)）相交于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之積． 【解析】（1）因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，化為直角坐標(biāo)方程即，顯然直線過點(diǎn)，傾斜角為， 因此直線的參數(shù)方程為，即． 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為. （Ⅰ）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若曲線與曲線交于兩點(diǎn)，求. 【解析】（Ⅰ）消掉參數(shù)，得曲線的普通方程為，即. 曲線的方程可化為：，顯然， 所以化為直角坐標(biāo)方程為， 化簡(jiǎn)得. 方法二：將曲線的參數(shù)方程化為（為參數(shù)），并代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得，整理得. 由求根公式解得， 故.