2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 2 充分條件與必要條件學案 北師大版選修1 -1.doc
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2 充分條件與必要條件 充分條件與必要條件 古時候有個賣油郎叫洛孝，一天他在賣油回家的路上撿到30兩銀子，回家后其母親叫洛孝把銀子還給失主．當洛孝把銀子還給失主時，失主卻說自己丟了50兩銀子，叫洛孝拿出自己私留的20兩銀子．兩人為此爭執(zhí)不休，告到縣衙，縣官聽了兩人的供述后，把銀子判給洛孝，失主含羞離去． 設： A：洛孝主動歸還所拾銀兩． B：洛孝無賴銀之情． C：洛孝拾到30兩銀子，失主丟失50兩銀子． D：洛孝所拾銀子不是失主所丟． 問題1：縣官得到結(jié)論B的依據(jù)是什么？它是B的什么條件？ 提示：A，充分條件． 問題2：縣官由C得出什么結(jié)論？它是C的什么條件？ 提示：D，必要條件． 充分條件和必要條件 如果“若p，則q”形式的命題為真命題，即p?q，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件. 充要條件 已知：p：前年在倫敦舉行第30屆夏季奧運會． q：前年是2012年． 問題1：“若p，則q”為真命題嗎？p是q的什么條件？ 提示：是真命題，充分條件． 問題2：“若q，則p”是真命題嗎？p是q的什么條件？ 提示：是真命題，必要條件． 問題3：p是q的什么條件？q是p的什么條件？ 提示：充要條件，充要條件． 充要條件 (1)如果既有p?q，又有q?p，通常記作p?q，則稱p是q的充分必要條件，簡稱充要條件． (2)p是q的充要條件也可以說成：p成立當且僅當q成立． (3)如果p，q分別表示兩個命題，且它們互為充要條件，我們稱命題p和命題q是兩個相互等價的命題． (4)若p?q，但q?/ p，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件． (5)若p?/ q，且q?/ p，則p是q的既不充分也不必要條件． 充分條件與必要條件的判斷，即對命題“若p，則q”與“若q，則p”進行真假判斷，若是一真一假則p是q的充分不必要條件或必要不充分條件；若是兩真則p是q的充要條件；若是兩假則p是q的即不充分又不必要條件． 充分條件、必要條件的判斷 [例1] 下列各題中，p是q的什么條件？ (1)p：a，b，c三數(shù)成等比數(shù)列，q：b＝； (2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3； (3)p：a>b，q：2a>2b； (4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC為等腰三角形． [思路點撥] 可先看p成立時，q是否成立，再反過來若q成立時，p是否成立，從而判定p，q間的關系． [精解詳析] (1)若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac，b＝，則p?/ q；若b＝，當a＝0，b＝0時，a，b，c不成等比數(shù)列，即q?/ p，故p是q的既不充分也不必要條件． (2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p?/ q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q?p，故p是q的必要不充分條件． (3)當a>b時，有2a>2b，即p?q，當2a>2b時，可得a>b，即q?p，故p是q的充要條件． (4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC為等腰三角形，即p?/ q；若△ABC為等腰三角形也不能得出△ABC為直角三角形，即q?/ p，故p是q的既不充分也不必要條件． 法二：如圖所示：p，q對應集合間無包含關系，故p是q的既不充分也不必要條件． [一點通] 充分必要條件判斷的常用方法： (1)定義法：分清條件和結(jié)論，利用定義判斷． (2)等價法：將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的逆否命題判斷． (3)集合法： 設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性質(zhì)p，則x∈A；若x具有性質(zhì)q，則x∈B. ①若AB，則p是q的充分不必要條件； ②若BA，則p是q的必要不充分條件； ③若A＝B，則p是q的充要條件； ④若A?B且B?A，則p是q的既不充分又不必要條件． 1．設集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x||x－2|≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 解析：集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，則由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故選D. 答案：D 2．對任意實數(shù)a，b，c給出下列命題： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件； ②“a＋5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分條件； ④“a<5”是“a<3”的必要條件． 其中，真命題的序號是________． 解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc時不一定有a＝b，故①為假命題；②由“a＋5為無理數(shù)”可得“a為無理數(shù)”，由“a為無理數(shù)”可得“a＋5為無理數(shù)”，②為真命題；③由“a>b”不能得出a2>b2，如a＝1，b＝－2，③為假命題；④“由a<5”不能得“a<3”，而由“a<3”可得“a<5”，④為真命題． 答案：②④ 3．指出下列各組命題中p是q的什么條件，q是p的什么條件，并說明理由． (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y(tǒng)； (2)在△ABC中，p：sin A＞，q：A＞. 解：(1)因為|x|＝|y|?x＝y(tǒng)或x＝－y，但x＝y(tǒng)?|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件． (2)因為0＜A＜π時，sin A∈(0,1]，且A∈(0，]時，sin A單調(diào)遞增，A∈[，π)時，sin A單調(diào)遞減，所以sin A＞?A＞，但A＞?/ sin A＞. 所以p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件. 充要條件的證明和求解 [例2] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)， 求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q＝－1. [思路點撥] 本題可分充分性和必要性兩種情況證明，即由q＝－1推證數(shù)列{an}為等比數(shù)列和由數(shù)列{an}滿足Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)為等比數(shù)列推證q＝－1. [精解詳析] (充分性)當q＝－1時，a1＝S1＝p－1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1時也成立．于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}為等比數(shù)列． (必要性)當n＝1時，a1＝S1＝p＋q； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)． 因為p≠0且p≠1，所以當n≥2時，＝＝p，可知等比數(shù)列{an}的公比為p. 故＝＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1. 綜上可知，q＝－1是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件． [一點通] 充要條件的證明問題，要證明兩個方面，一是充分性，二是必要性．為此必須要搞清條件，在“A是B的充要條件”中，A?B是充分性，B?A是必要性；在“A的充要條件是B”中，A?B是必要性，B?A是充分性． 4．不等式x2－ax＋1>0的解集為R的充要條件是____________． 解析：若x2－ax＋1>0的解集為R，則Δ＝a2－4<0，即－2
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