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課時作業(yè)39　數(shù)學(xué)歸納法 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n＋1，n的第一個取值應(yīng)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：∵n＝1時，21＝2,21＋1＝3,2n>2n＋1不成立； n＝2時，22＝4,22＋1＝5,2n>2n＋1不成立； n＝3時，23＝8,23＋1＝7,2n>2n＋1成立． ∴n的第一個取值應(yīng)是3. 答案：C 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假使n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3時正確(其中k∈N*) B．假使n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1時正確(其中k∈N*) C．假使n＝k時正確，再推n＝k＋1時正確(其中k∈N*) D．假使n＝k時正確，再推n＝k＋2時正確(其中k∈N*) 解析：因為n為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第k個正奇數(shù)也成立，即假設(shè)n＝2k－1時正確，再推第k＋1個正奇數(shù)，即n＝2k＋1時正確． 答案：B 3．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)，n∈N*”時，從“n＝k”變成“n＝k＋1”時，左邊應(yīng)增乘的因式是(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 解析：當(dāng)n＝k(k∈N*)時， 左式為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)； 當(dāng)n＝k＋1時，左式為(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)， 則左式應(yīng)增乘的式子是＝2(2k＋1)． 答案：B 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn＝na1＋d時，假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，則Sk＝(　　) A．a(chǎn)1＋(k－1)d B. C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 解析：假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋d. 答案：C 5．凸n邊形有f(n)條對角線，則凸(n＋1)邊形的對角線的角數(shù)f(n＋1)為(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：邊數(shù)增加1，頂點也相應(yīng)增加1個，它與和它不相鄰的n－2個頂點連接成對角線，原來的一條邊也成為對角線，因此，對角線增加n－1條． 答案：C 二、填空題 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>(n>1且n∈N*)時，第一步要證明的不等式是________． 解析：∵n>1，∴第一步應(yīng)證明當(dāng)n＝2時不等式成立，即＋＋＋>. 答案：＋＋＋> 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>－.假設(shè)n＝k時，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________． 解析：觀察不等式左邊的分母可知，由n＝k到n＝k＋1左邊多出了這一項． 答案：＋＋…＋＋>－ 8．對任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝________. 解析：當(dāng)n＝1時，36＋a3能被14整除的數(shù)為a＝3或5；當(dāng)a＝3且n＝2時，310＋35不能被14整除，故a＝5. 答案：5 三、解答題 9．證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． 證明：①當(dāng)n＝1時，左邊＝1－＝，右邊＝，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥1)時等式成立． 即1－＋…＋－＝＋＋…，則當(dāng)n＝k＋1時， 左邊＝1－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋， ∴當(dāng)n＝k＋1時等式也成立， 由①②知，對一切n∈N*等式都成立． 10．求證：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)． 證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝＋＝>，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時成立， 即＋＋…＋>. 則當(dāng)n＝k＋1時，＋＋…＋＋＋＋－>＋＋－ ＝＋－＝＋>. ∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)可知，對一切n≥2，n∈N*均成立，故原不等式成立． [能力挑戰(zhàn)] 11．已知數(shù)列{an}中，a1＝5，Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)． (1)求a2，a3，a4并由此猜想an的表達(dá)式． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項公式． 解析：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝20. 猜想：an＝52n－2(n≥2，n∈N*) (2)①當(dāng)n＝2時，a2＝522－2＝5成立. ②假設(shè)當(dāng)n＝k時猜想成立，即ak＝52k－2(k≥2且k∈N*) 則n＝k＋1時， ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋52k－2＝5＋＝52k－1. 故當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立． 由①②可知，對n≥2且n∈N*， 都有an＝52n－2， 于是數(shù)列{an}的通項公式為 an＝