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1 2 1 函數(shù)的概念 教學(xué)目標(biāo) 使學(xué)生理解函數(shù)的概念 明確決定函數(shù)的三個(gè)要素 學(xué)會(huì)求某些函數(shù)的定義域 掌握判定兩個(gè)函數(shù)是否相同的方法 使學(xué)生理解靜與動(dòng)的辯證關(guān)系 教學(xué)重點(diǎn) 函數(shù)的概念 函數(shù)定義域的求法 教學(xué)難點(diǎn) 函數(shù)概念的理解 初中函數(shù)的概念 在某變化過程中 有兩個(gè)變量x y 如果給定一個(gè)x 相應(yīng)地確定唯一的一個(gè)y值 那么就稱y是x的函數(shù) 其中x是自變量 y是因變量 從上面概念知道 可以用函數(shù)描述變量x y之間的依賴關(guān)系 下面我們將進(jìn)一步的學(xué)習(xí)函數(shù)及其構(gòu)成要素 首先請(qǐng)看這幾例子 引例一一枚炮彈發(fā)射后 經(jīng)過60s落到地面擊中目標(biāo) 炮彈的射高為4410m 且炮彈距地面的高度h 單位 m 隨時(shí)間 單位 s 變化的規(guī)律是h 294t 4 9t2 思考以下問題 1 炮彈飛行1秒 8秒 15秒 25秒時(shí)距地面多高 2 炮彈何時(shí)距離地面最高 3 你能指出變量t和h的取值范圍嗎 分別用集合A和集合B表示出來 4 對(duì)于集合A中的任意一個(gè)時(shí)間t 按照對(duì)應(yīng)關(guān)系 在B中是否都有唯一確定的高度h和它對(duì)應(yīng) 引例二近幾十年來 大氣層中的臭氧迅速減少 因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題 下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979 2001年的變化情況 思考 1 能從圖中看出哪一年臭氧層空洞的面積最大 2 哪些年的臭氧層空洞的面積大約為1500萬平方千米 3 變量t的取值范圍是多少 引例三 請(qǐng)問 1 恩格爾系數(shù)與年份之間的關(guān)系是否和前兩個(gè)事例中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系相似 2 如何用集合與對(duì)應(yīng)的語言來描述這個(gè)關(guān)系 八五 計(jì)劃以來我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況如下表 以上三個(gè)實(shí)例有那些公共的特點(diǎn) 思考 它們的關(guān)系可以描述為 對(duì)于數(shù)集A中的每一個(gè)x 按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f 在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng) 記作 f AB 設(shè)A B是非空的數(shù)集 如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f 使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x 在集合B中都有唯一確定的數(shù)f x 和它對(duì)應(yīng) 那么就稱f A B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù) function 定義域 所有自變量x的值組成的集合A domain 1 函數(shù)的有關(guān)概念 函數(shù)的概念 記作 y f x x A 值域 與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值 函數(shù)值的集合 f x x A 叫做函數(shù)的值域 range 在下列圖象中 請(qǐng)指出哪一個(gè)是函數(shù)圖象 哪一個(gè)不是 并說明理由 x x x x y y y y o o o o 1 2 3 4 例如 1 一次函數(shù)y ax b a 0 定義域?yàn)镽 值域?yàn)镽 2 二次函數(shù) 2 對(duì)函數(shù)的理解 A B都是非空數(shù)集 因此定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)不存在 若y f x 是從集合A到集合B的函數(shù) 則應(yīng)緊扣它的 任意性 和 唯一性 即任意性 對(duì)于集合 中的任意一個(gè)數(shù) 唯一性 在集合B中都有唯一確定的數(shù)f x 和它對(duì)應(yīng) 還應(yīng)注意它的 方向性 確定性 在定義中 B不一定是函數(shù)的值域 若值域?yàn)镃 則一定有 如 設(shè)A 1 2 3 B 1 4 8 9 對(duì)應(yīng)關(guān)系是f 平方 改為設(shè)A 1 2 3 B 1 4 9 對(duì)應(yīng)關(guān)系是f 平方 函數(shù)符號(hào) y f x 中的f x 表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 一個(gè)數(shù) 一個(gè)整體 而不是f乘x 記號(hào) f 可以看作對(duì) x 施加的某種法則 或運(yùn)算 符號(hào)f x 與f a 既有區(qū)別又有聯(lián)系 當(dāng)a是變量時(shí)f x 與f a 是同一個(gè)函數(shù) 當(dāng)a是常數(shù)時(shí) f a 表示自變量x a對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 是一個(gè)常量 y f x 是函數(shù)符號(hào) 可以用任意的字母表示 如 y g x 函數(shù) 定義域 值域 對(duì)應(yīng)關(guān)系 值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的 4 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致 就知這兩個(gè)函數(shù)相等 同一函數(shù) 也可以畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象 如果圖象完全相同 則這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)如函數(shù)f x x與 3 構(gòu)成函數(shù)的三要素是什么 4 同一函數(shù) 1 兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致 即稱這兩個(gè)函數(shù)相等 或?yàn)橥缓瘮?shù) 2 兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致 而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān) 判定相同函數(shù)只要 定義域 對(duì)應(yīng)法則相同即可 5 判定兩個(gè)函數(shù)f x 和g x 是否是同一個(gè)函數(shù)的步驟是 題型一 函數(shù)的概念 例1 判斷下列對(duì)應(yīng)是否為集合A到集合B的函數(shù) 不是 是 不是 是 題型二 求函數(shù)值 例2 解 1 有意義的實(shí)數(shù)x的集合是 x x 3 有意義的實(shí)數(shù)x的集合是 x x 2 所以這個(gè)函數(shù)的定義域就是 練習(xí) 2 3 因?yàn)閍 0 所以f a f a 1 有意義 課堂練習(xí) P21練習(xí)1 2 例3 下列函數(shù)哪個(gè)與函數(shù)y x相等 解 1 這個(gè)函數(shù)與y x x R 對(duì)應(yīng)一樣 定義域不不同 所以和y x x R 不相等 2 這個(gè)函數(shù)和y x x R 對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣 定義域相同x R 所以和y x x R 相等 3 這個(gè)函數(shù)和y x x R 定義域相同x R 但是當(dāng)x 0時(shí) 它的對(duì)應(yīng)關(guān)系為y x所以和y x x R 不相等 題型二 同一函數(shù) 4 的定義域是 x x 0 與函數(shù)y x x R 的對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣 但是定義域不同 所以和y x x R 不相等 課堂練習(xí) P21練習(xí) 練習(xí)判斷下列函數(shù)f x 與g x 是否表示同一個(gè)函數(shù) 說明理由 f x x 1 2 g x 1 f x x g x f x x2 f x x 1 2 f x x g x 6 幾類函數(shù)的定義域 1 如果f x 是整式 那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R 2 如果f x 是分式 那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合 3 如果f x 是二次根式 那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合 4 如果f x 是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的 那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合 即求各集合的交集 5 已知f x 的定義域是 a b 求f g x 的定義域 是指滿足a g x b的x的取值范圍 已知f g x 的定義域是 a b 求f x 的定義域 是指在x a b 的條件下 求g x 的值域 6 實(shí)際問題或幾何問題給出的函數(shù)的定義域 這類問題除要考慮函數(shù)解析式有意義外 還應(yīng)考慮使實(shí)際問題或幾何問題有意義 7 區(qū)間的概念 滿足不等式a x b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間 表示為 a b 設(shè)a b是兩個(gè)實(shí)數(shù) 而且a b 我們規(guī)定 滿足不等式a x b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間 表示為 a b 滿足不等式a x b或a x b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間 表示為 a b 或 a b 這里的實(shí)數(shù)a b叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn) 實(shí)數(shù)集R可以表示為 a b b 題型三 求函數(shù)的定義域 例4 設(shè)一個(gè)矩形周長(zhǎng)為80 其中一邊長(zhǎng)為x求它的面積關(guān)于x的函數(shù)的解析式 并寫出定義域 例5設(shè)f x 的定義域是 1 3 值域?yàn)?0 1 試求函數(shù)f 2x 1 的定義域及值域 分析 函數(shù)f 2x 1 的自變量是仍是x 不是2x 1 故應(yīng)由2x 1滿足的條件中求出x的取值范圍 進(jìn)而得所求定義域 而2x 1已取遍定義域內(nèi)的每一個(gè)實(shí)數(shù) 所以值域沒有改變 解 由已知 1 2x 1 3 得 1 x 1 得函數(shù)f 2x 1 的定義域是 1 1 值域仍為 0 1 辯 將值域?qū)懗蓎 0 1 行嗎 0 y 1呢 例6 孿生問題1 已知f x x2 x 1 求f 2x 1 2 孿生問題2 已知f 2x 1 的定義域是 1 3 且f x 的定義域由f 2x 1 確定 試求f x 的定義域 解 1 f 2x 1 2x 1 2 2x 1 1 4x2 2x 1 解 2 由已知 1 x 3 得2x 1 1 7 又f x 的定義域由f 2x 1 確定 故f x 的定義域?yàn)?1 7 注 1 f x 意含對(duì)x的一種運(yùn)算法則 2 解題時(shí)經(jīng)常將一個(gè)變量作為整體看 3 2x 1 1 7 與 1 2x 1 7是同義句 課堂小結(jié) 一個(gè)概念 二種語言 三個(gè)要素 四項(xiàng)注意 1 已知函數(shù)均指由定義域到值域的函數(shù) 2 函數(shù)問題首先看定義域 3 f x 含對(duì)x的一種操作規(guī)定 4 根據(jù)需要 常常要用整體看問題 數(shù)學(xué)天才 萊布尼茲 函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的 以描述曲線的一個(gè)相關(guān)量 如曲線的斜率或者曲線上的某一點(diǎn) 萊布尼茲所指的函數(shù)現(xiàn)在被稱作可導(dǎo)函數(shù) 數(shù)學(xué)家之外的普通人一般接觸到的函數(shù)即屬此類 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)可以討論它的極限和導(dǎo)數(shù) 此兩者描述了函數(shù)輸出值的變化同輸入值變化的關(guān)系 是微積分學(xué)的基礎(chǔ)