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寒假訓(xùn)練10空間向量與立體幾何 [2018中山一中]如圖所示，在四棱錐中，，，，，． （1）證明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）證明：∵，，∴． ∵，，，∴，∴， ∵，∴平面． 又平面，∴平面平面． （2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 則，，，，∴，， 設(shè)平面的法向量為，則，即， 令，解得，即， 顯然平面的一個(gè)法向量為， ∴，∴二面角的余弦值為． 一、選擇題 1．[2018浙江學(xué)考]對(duì)于空間向量，．若，則實(shí)數(shù)（） A． B． C．1 D．2 2．[2018黔東南州期末]在空間中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)到平面的距離為（） A． B．1 C．2 D．3 3．[2018臺(tái)州期中]在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（） A． B． C． D． 4．[2018浙江模擬]如圖，在平行六面體中，為，的交點(diǎn)． 若，，，則向量（） A． B． C． D． 5．[2018眉山一中]已知，，，則下列向量是平面法向量的是（） A． B． C． D． 6．[2018眉山一中]若直線的方向向量與平面α的法向量的夾角等于，則直線與平面所成的角等于（） A． B． C． D．或 7．[2018吉安期末]已知點(diǎn)，，，點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（） A． B． C． D． 8．[2018深圳模擬]在如圖所示的坐標(biāo)系中，為正方體，給出下列結(jié)論: ①直線的一個(gè)方向向量為； ②直線的一個(gè)方向向量為； ③平面的一個(gè)法向量為； ④平面的一個(gè)法向量為． 其中正確的個(gè)數(shù)為（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．[2018臨汾一中]如圖，在正方體中，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)， 則下列結(jié)論不正確的是（） A．三棱錐的正視圖面積是定值 B．異面直線，所成的角可為 C．異面直線，所成的角為 D．直線與平面所成的角可為 10．[2018蘭州期中]在正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（） A． B． C． D． 11．[2018貴州調(diào)研]已知為正方體，則二面角的余弦值為（） A． B． C． D． 12．[2018書生中學(xué)]如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在棱上，且，則當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，棱的長(zhǎng)為（） A． B． C．2 D． 二、填空題 13．[2018醴陵二中]已知向量，，，若平面，則的值是______． 14．[2018定遠(yuǎn)縣期中]如圖，在正方體中，有下面結(jié)論： ①平面； ②平面； ③與底面所成角的正切值是； ④與為異面直線．其中正確的結(jié)論的序號(hào)是________． 15．[2018浙東北期中]在正方體中，異面直線與的所成角為_____，二面角的大小為_____． 16．[2018佛山一中]如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是___________． 三、解答題 17．[2018西寧四中]如圖，已知矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，，，，、分別是、的中點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）求證：； （3）求與平面所成的角的大小． 18．[2018百色調(diào)研]如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，為直角三角形且，是等邊三角形． （1）求證：； （2）若，求二面角的正弦值．  寒假訓(xùn)練10空間向量與立體幾何 一、選擇題 1．【答案】D 【解析】∵空間向量，．若，則， ∴，故選D． 2．【答案】C 【解析】設(shè)所求的點(diǎn)為，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱， ∴、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，而豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，即，，， 得坐標(biāo)為．∴點(diǎn)到平面的距離為2．故選C． 3．【答案】B 【解析】以為原點(diǎn)，為軸、為軸、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ∵在長(zhǎng)方體中，，， ∴，，，，，， 設(shè)異面直線與所成角的為，則， ∴異面直線與所成角的余弦值為，故選B． 4．【答案】A 【解析】由題意，向量 ．故選A． 5．【答案】B 【解析】，，設(shè)平面的法向量為， 則，取，，， 則，與共線的向量為，故選B． 6．【答案】B 【解析】設(shè)直線與平面所成的角為，則，故選B． 7．【答案】C 【解析】∵，，． ∵，，∴，∴，解得． ∴．故選C． 8．【答案】C 【解析】∵，，故①正確； ，，故②正確； 直線平面，．故③正確； 點(diǎn)的坐標(biāo)為，與平面不垂直，故④錯(cuò)．故選C． 9．【答案】D 【解析】對(duì)于，三棱錐的主視圖為三角形，底邊為的長(zhǎng)，高為正方體的高， 故棱錐的主視圖面積不變，故A正確； 對(duì)于，分別以，，為坐標(biāo)軸，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，，，，， ∴，，∴， 當(dāng)時(shí)，方程有解，∴異面直線，所成的角可為，故B正確． 對(duì)于，連結(jié)，，，則，∵，∴， 又∵，于是平面，∵平面，∴，故C正確； 對(duì)于，結(jié)合中的坐標(biāo)系，可得面的法向量為，， ∴，令，方程無解， 即直線與平面所成的角可為是錯(cuò)誤的，故選D． 10．【答案】B 【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸， 建立如圖空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，， ∴，，， 設(shè)平面的法向量為，∵，， ∴，令，則，∴， 設(shè)直線與平面所成角為，則，故選B． 11．【答案】C 【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，∴，，，， 則，，， 設(shè)平面的法向量為，則，令，得， 設(shè)平面的法向量為，則，令，得， 設(shè)二面角的夾角為，則．故選C． 12．【答案】A 【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，， 設(shè)，，，，，， ∵，∴，即， ， 當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，∴，故選A． 二、填空題 13．【答案】 【解析】∵平面，∴存在事實(shí)，，使得， ∴，解得．故答案為． 14．【答案】②③④ 【解析】①∵平面，∴平面錯(cuò)誤，∴①錯(cuò)誤． ②連結(jié)，，則，又∵面， 故，，故面，進(jìn)而得到， 同理可證， 又∵于點(diǎn)，故得到平面，∴②正確． ③∵在底面的射影為，∴是與底面所成的角， 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，∴，∴③正確． ④由異面直線的定義可知，與為異面直線，∴④正確． 故答案為②③④． 15．【答案】； 【解析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為1， 則，，，，，，， 設(shè)異面直線與的所成角為，則，∴， ∴異面直線與的所成角為． ，，，， 設(shè)平面的法向量，則，取，得， 設(shè)平面的法向量，則，取，得， 設(shè)二面角的大小為，則，∴， ∴二面角的大小為．故答案為；． 16．【答案】 【解析】由題意可得： 直線于平面所成的角的取值范圍是， 不妨?。谥?，， ， ∴的取值范圍是． 三、解答題 17．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）． 【解析】（1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，， ∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，， ∴，，， ∴，∴與，共面， ∵平面，∴平面； （2）證明：，∴，∴； （3）解：∵，， ∴，∴， ∵平面，∴是平面的法向量， ∴與平面所成的角為． 18．【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連，，， ∵，為等邊三角形，∴，， 又，∴平面，又∵平面，∴． （2）解：∵，為中點(diǎn)，結(jié)合題設(shè)條件可得，， ∴，∴． 如圖，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， 得，，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量， 則，即，∴． 設(shè)平面的一個(gè)法向量， 由，即，∴． ∴． 設(shè)二面角的平面角為，則由圖可知， ∴．