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專題強(qiáng)化訓(xùn)練(三) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．如圖26所示，若向量＝a，＝b，＝c，則向量可以表示為 (　　) 圖26 A．a(chǎn)＋b－c B．a(chǎn)－b＋c C．b－a＋c D．b＋a－c C　[＝－＝＋－＝b＋c－a＝b－a＋c.] 2．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)⊥(a－mb)，則m＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352280】 A．－ B． C．2 D．－2 B　[因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(－3,0)， 所以2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋3m,2)， 由2a＋b與a－mb垂直， 得－1－3m＋8＝0，解得m＝.] 3．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且a(a－b)＝，則向量a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. B　[設(shè)a與b的夾角為θ，則 a(a－b)＝a2－ab ＝|a|2－|a||b|cos θ ＝1－cos θ＝， 故cos θ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.] 4．若向量a與b的夾角為60，|b|＝4，(a＋2b)(a－3b)＝－72，則向量a的模為(　　) A．2　　　　 B．4 C．6　　　　 D．12 C　[(a＋2b)(a－3b)＝a2－ab－6b2 ＝|a|2－|a||b|cos 60－6|b|2 ＝|a|2－2|a|－96＝－72， 即|a|2－2|a|－24＝0，又|a|＞0，解得|a|＝6.] 5．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：84352281】 A．－a＋b B．a(chǎn)－b C．a(chǎn)－b D．－a＋b B　[設(shè)c＝xa＋yb則 (－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1) ＝(x＋y，x－y)， ∴解得 ∴c＝a－b.] 二、填空題 6．如圖27，在邊長為3的正方形ABCD中，AC與BD交于F，AE＝AD，則＝________. 圖27 －3　[建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示， 則A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)，E(0,1)，F(xiàn)，則 ＝(－3,3)＝(－3)＋3＝－3.] 7．已知a＝(1，－2)，b＝(4,2)，設(shè)2a與a－b的夾角為θ，則cos θ＝_______. 【導(dǎo)學(xué)號：84352282】 　[2a＝2(1，－2)＝(2，－4)， a－b＝(1，－2)－(4,2)＝(－3，－4)， cos θ＝＝＝.] 8．設(shè)向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，且a與b不共線，若用m，n表示p，則p＝________. －m＋n　[設(shè)p＝xm＋yn，則p＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b＝3a＋2b， 又∵a與b不共線，∴解得 故p＝－m＋n.] 三、解答題 9．如圖28，在?ABCD中，＝a，＝b，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，G點(diǎn)使＝，試以a，b為基底表示向量與. 圖28 [解]?。剑剑剑絘＋b. ＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b. 10．平面內(nèi)有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，點(diǎn)X為直線OP上的一個(gè)動點(diǎn)． (1)當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)． (2)當(dāng)點(diǎn)X滿足(1)的條件和結(jié)論時(shí)，求cos∠AXB的值. 【導(dǎo)學(xué)號：84352283】 [解]　(1)設(shè)＝(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)X在直線OP上， 所以向量與共線．又＝(2, 1)， 所以x1－y2＝0，即x＝2y， 所以＝(2y，y)， 又＝－＝(1－2y,7－y)， ＝－＝(5－2y,1－y)， 于是＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8. 可知當(dāng)y＝2時(shí)，取最小值－8，此時(shí)＝(4,2)． (2)當(dāng)＝(4,2)即y＝2時(shí)，有＝(－3,5)，＝(1，－1)，＝(－3)1＋5(－1)＝－8， 所以cos∠AXB＝＝＝. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．如圖29所示，矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，若⊥，則||等于(　　) 圖29 A.　　 B．2 C．3 D．2 B　[建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AD|＝t，則A(0,0)，C(4，t)，D(0，t)，E(2,0)， 則＝(2，－t)，＝(4，t)， 由⊥得＝8－t2＝0， 解得t＝2，所以＝(2，－2)，||＝＝2.] 2．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，則|a＋b|的取值范圍是(　　) A．[0，] B．(1，] C．[1,2] D．[，2] D　[∵a＋b＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)， ∴|a＋b|2＝(1＋cos θ)2＋sin2θ＝2＋2cos θ， 又θ∈，∴cos θ∈[0,1]， ∴|a＋b|2∈[2,4]． ∴|a＋b|的取值范圍是[，2]．] 3．已知銳角△ABC三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)與向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共線向量，則角A＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：84352284】 　[∵p∥q， ∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(sin A－cos A)(cos A＋sin A)＝0， ∴2－2sin2A＝sin2A－cos2A， ∴sin2A＝. 又A為銳角，∴sin A＝，∴A＝.] 4．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a為實(shí)數(shù)，O為原點(diǎn)，當(dāng)此兩向量夾角在變動時(shí)，a的取值范圍是________． ∪(1，)　[由題意，設(shè)A(1,1)，B(1，a)，a和b的夾角為θ，所以＝(1,1)，＝(1，a)， ＝1＋a，||＝， ||＝， 所以cos θ＝＝. 又因?yàn)棣取?，所以cos θ∈， 所以＜＜1， 解得a的取值范圍為∪(1，)．] 5．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)． (1)求，在上的投影； (2)證明：A，B，C三點(diǎn)共線，并在＝時(shí)，求λ的值； (3)求||的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號：84352285】 [解]　(1)＝8，設(shè)與的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝， ∴在上投影為||cos θ＝4＝2. (2)＝－＝(－2,2)， ＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)， ∴A，B，C三點(diǎn)共線． 當(dāng)＝時(shí)，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)||2＝(1－λ)2＋2λ(1－λ)＋λ2＝16λ2－16λ＋16＝162＋12， ∴當(dāng)λ＝時(shí)，||min＝2.