《2017-2018學年高中數(shù)學 第六章 推理與證明 6.3 數(shù)學歸納法（1）分層訓練 湘教版選修2-2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學年高中數(shù)學 第六章 推理與證明 6.3 數(shù)學歸納法（1）分層訓練 湘教版選修2-2.doc（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

6.3　數(shù)學歸納法(一) 一、基礎(chǔ)達標 1．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當n＝k(k∈N*)時，該命題成立，那么可推得 n＝k＋1時，該命題也成立．現(xiàn)在已知當n＝5時，該命題成立，那么可推導出 (　　) A．當n＝6時命題不成立 B．當n＝6時命題成立 C．當n＝4時命題不成立 D．當n＝4時命題成立 答案　B 2．一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立可以推得n＝k＋2時命題也成立，則 (　　) A．該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立 B．該命題對于所有的正偶數(shù)都成立 C．該命題何時成立與k取值無關(guān) D．以上答案都不對 答案　B 解析　由n＝k時命題成立可以推出n＝k＋2時命題也成立．且n＝2，故對所有的正偶數(shù)都成立． 3．在應(yīng)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步驗證n等于 (　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　因為是證凸n邊形，所以應(yīng)先驗證三角形，故選C. 4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，則n＝1時f(n)是 (　　) A．1 B. C．1＋＋ D．以上答案均不正確 答案　C 5．用數(shù)學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程中，第二步假設(shè)當n＝k(k∈N*)時等式成立，則當n＝k＋1時應(yīng)得到________． 答案　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 解析　由n＝k到n＝k＋1等式的左邊增加了一項． 6．已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，則f(k＋1)＝________. 答案　f(k)＋＋＋－ 7．用數(shù)學歸納法證明…＝(n∈N*)． 證明　(1)當n＝1時，左邊＝1－＝，右邊＝＝，等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即 …＝， 當n＝k＋1時， …＝＝＝＝， 所以當n＝k＋1時等式也成立． 由(1)(2)可知，對于任意n∈N*等式都成立． 二、能力提升 8．用數(shù)學歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*)，從k到k＋1左端需要增乘的代數(shù)式為 (　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D. 答案　B 解析　n＝k＋1時，左端為(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k](2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(2k＋1)2，∴應(yīng)增乘2(2k＋1)． 9．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則 (　　) A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋ 答案　D 解析　觀察分母的首項為n，最后一項為n2，公差為1， ∴項數(shù)為n2－n＋1. 10．以下用數(shù)學歸納法證明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的過程中的錯誤為________． 答案　缺少步驟(1)，沒有遞推的基礎(chǔ) 證明　假設(shè)當n＝k(k∈N*)時等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即當n＝k＋1時等式也成立．因此對于任何n∈N*等式都成立． 11．用數(shù)學歸納法證明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1. 證明　(1)當n＝1時，左邊＝1， 右邊＝(－1)1－1＝1，結(jié)論成立． (2)假設(shè)當n＝k時，結(jié)論成立． 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1， 那么當n＝k＋1時， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1) ＝(－1)k＝(－1)k＋1－1. 即n＝k＋1時結(jié)論也成立． 由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n都有此結(jié)論成立． 12．已知數(shù)列{an}的第一項a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn為數(shù)列{an}的前n項和． (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式； (2)用數(shù)學歸納法證明{an}的通項公式． (1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝. (2)證明　①當n＝2時，a2＝522－2＝5，公式成立． ②假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時成立， 即ak＝52k－2， 當n＝k＋1時，由已知條件和假設(shè)有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋52k－2. ＝5＋＝52k－1＝52(k＋1)－2. 故n＝k＋1時公式也成立． 由①②可知，對n≥2，n∈N*，有an＝52n－2. 所以數(shù)列{an}的通項公式為 an＝. 三、探究與創(chuàng)新 13．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1－nan(n∈N*)． (1)計算a1，a2，a3，a4； (2)猜想an的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論． 解　(1)計算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝. (2)猜想an＝.下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，猜想顯然成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時，猜想成立，即ak＝. 那么，當n＝k＋1時，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1. 又Sk＝1－kak＝， 所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1， 從而ak＋1＝＝. 即n＝k＋1時，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立.