《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 4.1 導(dǎo)數(shù)概念 4.1.3 導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義分層訓(xùn)練 湘教版選修2-2.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 4.1 導(dǎo)數(shù)概念 4.1.3 導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義分層訓(xùn)練 湘教版選修2-2.doc(4頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
4.1.3 導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義
一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1.設(shè)f′(x0)=0,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線
( )
A.不存在 B.與x軸平行或重合
C.與x軸垂直 D.與x軸斜交
答案 B
2.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是
( )
A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)
kA,即f′(xB)>f′(xA).
3.已知曲線y=2x2上一點(diǎn)A(2,8),則在點(diǎn)A處的切線斜率為
( )
A.4 B.16 C.8 D.2
解析 在點(diǎn)A處的切線的斜率即為曲線y=2x2在x=2時(shí)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)定義可求y′=4x,∴f′(2)=8.
答案 C
4.已知函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3,則f(x)的解析式可能為
( )
A.f(x)=(x-1)2+3(x-1)
B.f(x)=2(x-1)
C.f(x)=2(x-1)2
D.f(x)=x-1
答案 A
解析 分別求四個(gè)選項(xiàng)的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)=2(x-1)+3;f′(x)=2;
f′(x)=4(x-1);f′(x)=1.
5.拋物線y=x2+x+2上點(diǎn)(1,4)處的切線的斜率是________,該切線方程為_(kāi)___________.
答案 3 3x-y+1=0
解析 Δy=(1+d)2+(1+d)+2-(12+1+2)=3d+d2,故y′|x=1=
= (3+d)=3.
∴切線的方程為y-4=3(x-1),
即3x-y+1=0.
6.若曲線y=x2-1的一條切線平行于直線y=4x-3,則這條切線方程為_(kāi)___________.
答案 4x-y-5=0
解析 ∵f′(x)==
== (2x+d)=2x.
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則由題意知f′(x0)=4,即2x0=4,∴x0=2,代入曲線方程得y0=3,故該切線過(guò)點(diǎn)(2,3)且斜率為4.所以這條切線方程為
y-3=4(x-2),即4x-y-5=0.
7.求曲線y=x3在點(diǎn)(3,27)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.
解 ∵f′(3)=
= = (d2+9d+27)=27,
∴曲線在點(diǎn)(3,27)處的切線方程為y-27=27(x-3),
即27x-y-54=0.
此切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(2,0),(0,-54).
∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=254=54.
二、能力提升
8.曲線y=-x3+3x2在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為
( )
A.y=3x-1 B.y=-3x+5
C.y=3x+5 D.y=2x
答案 A
解析
=-Δx2+3.
Δx→0時(shí),-Δx2+3→3.
∴f′(1)=3.即曲線在(1,2)處的切線斜率為3.
所以切線方程為y-2=3(x-1),即y=3x-1.
9.函數(shù)y=f(x)圖象在M(1,f(1))處的切線方程為y=x+2,則f(1)+f′(1)=________.
答案 3
解析 由已知切點(diǎn)在切線上.
∴f(1)=1+2=.
切線的斜率f′(1)=.∴f(1)+f′(1)=3.
10.若曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(0,b)處的切線方程為x-y+1=0,則a,b的值分別為_(kāi)_______,________.
答案 1 1
解析 ∵點(diǎn)(0,b)在切線x-y+1=0上,
∴-b+1=0,b=1.
又==a+Δx,
∴f′(0)=a=1.
11.已知曲線y=x3+1,求過(guò)點(diǎn)P(1,2)的曲線的切線方程.
解 設(shè)切點(diǎn)為A(x0,y0),則y0=x+1.
==
Δx2+3x0Δx+3x.
∴f′(x0)=3x,切線的斜率為k=3x.
點(diǎn)(1,2)在切線上,∴2-(x+1)=3x(1-x0).∴x0=1或x0=-.
當(dāng)x0=1時(shí),切線方程為3x-y-1=0,
當(dāng)x0=-時(shí),切線方程為3x-4y+5=0.
所以,所求切線方程為3x-y-1=0或3x-4y+5=0.
12.求拋物線y=x2的過(guò)點(diǎn)P(,6)的切線方程.
解 由已知得,=2x+d,
∴當(dāng)d→0時(shí),2x+d→2x,
即y′=2x,
設(shè)此切線過(guò)拋物線上的點(diǎn)(x0,x),
又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)(,6)和點(diǎn)(x0,x),
其斜率應(yīng)滿足=2x0,
由此x0應(yīng)滿足x-5x0+6=0.
解得x0=2或3.
即切線過(guò)拋物線y=x2上的點(diǎn)(2,4),(3,9).
所以切線方程分別為y-4=4(x-2),y-9=6(x-3).
化簡(jiǎn)得4x-y-4=0,6x-y-9=0,
此即是所求的切線方程.
三、探究與創(chuàng)新
13.求垂直于直線2x-6y+1=0并且與曲線y=x3+3x2-5相切的直線方程.
解 設(shè)切點(diǎn)為P(a,b),函數(shù)y=x3+3x2-5的導(dǎo)數(shù)為y′=3x2+6x.故切線的斜率
k=y(tǒng)′|x=a=3a2+6a=-3,得a=-1,代入y=x3+3x2-5得,b=-3,即
P(-1,-3).故所求直線方程為y+3=-3(x+1),即3x+y+6=0.
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